Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelem kyvadla. U matematického kyvadla se zkoumá pouze hmotný bod zavěšený na tenkém vláknu zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a gravitační pole se považuje za homogenní. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, tedy zařízení, které po dodání počáteční energie volně kmitá bez vnějšího působení. Při malých výchylkách (do asi ±5°) je průběh tohoto kmitání harmonický, lze jej tedy vyjádřit pomocí funkce sinus.

Matematický popis

Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Velikost výsledné síly je

$F = mg \sin \varphi$,

kde $g$ je tíhové zrychlení a φ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy. Diferenciální rovnice pro popis pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy

$\ddot{\varphi} = -\frac{g}{l} \sin \varphi$,

kde $l$ je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy $\varphi_{\rm max}$ malá (viz přesné řešení dále), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí

$\sin \varphi \approx \varphi$.

Diferenciální rovnice má proto podstatně jednodušší tvar (lineární homogenní 2. řádu)

$\ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi = 0.$

Tato rovnice má partikulární řešení

$\varphi(t) = \varphi_m \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right)$,

kde $\varphi_m$ je počáteční úhlová výchylka (předpokládáme nulovou počáteční rychlost, takže je to zároveň maximální výchylka) a $t$ je čas, což je pohybová rovnice harmonického oscilátoru s periodou

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla a (místní) tíhové zrychlení, hmotnost závaží na ni samozřejmě nemá vliv.

Reálné kyvadlo

Související informace naleznete v článku Fyzikální kyvadlo.

Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení jsou potřeba eliptický integrál I. druhu

$K(k) = \int_0^{\pi/2} {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{u}}}\,du\,$

pomocí nějž lze vyjádřit přesný vzorec pro periodu v závislosti na úhlovém rozkmitu $\varphi_m \in (0;\pi)$

$T (\varphi_m) = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\varphi_m\over 2} \right).$

Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Periodu kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\left(\frac{\varphi_m}{2}\right)+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sin^4\left(\frac{\varphi_m}{2}\right) + ...\right)$.

Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.

Redukovaná délka

Délka $l$ matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí

$l^\star = \frac{J}{ml}$,

kde $l^\star$ představuje redukovanou délku kyvadla, $m$ je hmotnost tělesa, $l$ je vzdálenost závěsu od těžiště a $J$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.

Reverzní kyvadlo

Reverzní kyvadlo.

Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení $O$ a současně prochází těžištěm tělesa, redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod $O^\prime$. Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem $O^\prime$ má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě $O$.

Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm $J_0$ a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu $J$, pak redukovaná délka je

$l = \frac{J_0+ma^2}{ma} = \frac{J_0}{ma}+a$,

kde $a$ označuje vzdálenost těžiště od bodu $O$.

Kýve-li se těleso kolem středu kyvu $O^\prime$, platí podle Steinerovy věty

$J^\prime = J_0 + m{(l-a)}^2$

Pro redukovanou délku dostaneme

$l^\prime = \frac{J^\prime}{m(l-a)} = \frac{J_0}{m(l-a)}+(l-a)$

Z předchozích vztahů pak plyne

$l^\prime = a\frac{l-a}{l-a}+(l-a) = l$

Redukovaná délka pro osu $O^\prime$ je tedy stejná jako pro původní osu $O$.

Pokud je těleso zavěšeno v bodě $O^\prime$, který je od bodu $O$ vzdálen o redukovanou délku $l$, dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

Související články

• Fyzikální kyvadlo
• Torzní kyvadlo