Matematické kyvadlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelem kyvadla. U matematického kyvadla se zkoumá pouze hmotný bod zavěšený na tenkém vláknu zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a gravitační pole se považuje za homogenní. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, tedy zařízení, které po dodání počáteční energie volně kmitá. Při malých výchylkách (do asi ±5°) je průběh tohoto kmitání přibližně harmonický, lze jej tedy vyjádřit pomocí funkce sinus.

Matematický popis[editovat | editovat zdroj]

Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Velikost výsledné síly je

F = mg \sin \varphi,

kde g je tíhové zrychlení a φ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy. Diferenciální rovnice pro popis pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy

 \ddot{\varphi} = -\frac{g}{l} \sin \varphi ,

kde l je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy \varphi_{\rm max} malá (viz přesné řešení dále), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí

\sin \varphi \approx \varphi.

Diferenciální rovnice má proto podstatně jednodušší tvar (lineární homogenní 2. řádu)

 \ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi = 0.

Tato rovnice má partikulární řešení

 \varphi(t) = \varphi_m \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right) ,

kde \varphi_m je počáteční úhlová výchylka (předpokládáme nulovou počáteční rychlost, takže je to zároveň maximální výchylka) a t je čas, což je pohybová rovnice harmonického oscilátoru s periodou

T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.

Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla a (místní) tíhové zrychlení, hmotnost závaží na ni samozřejmě nemá vliv.

Reálné kyvadlo[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Fyzikální kyvadlo.

Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení je potřeba eliptický integrál I. druhu

K(k) = \int_0^{\pi/2} {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{u}}}\,du\,

pomocí nějž lze vyjádřit přesný vzorec pro periodu v závislosti na úhlovém rozkmitu \varphi_m \in (0;\pi)

T (\varphi_m) = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\varphi_m\over 2} \right).

Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Periodu kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\left(\frac{\varphi_m}{2}\right)+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sin^4\left(\frac{\varphi_m}{2}\right) + ...\right).

Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.

Redukovaná délka[editovat | editovat zdroj]

Délka l matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí

l^\star = \frac{J}{ml},

kde l^\star představuje redukovanou délku kyvadla, m je hmotnost tělesa, l je vzdálenost závěsu od těžiště a J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.

Reverzní kyvadlo[editovat | editovat zdroj]

Reverzní kyvadlo.

Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení O a současně prochází těžištěm tělesa, redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod O^\prime. Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem O^\prime má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě O.


Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm J_0 a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu J, pak redukovaná délka je

l = \frac{J_0+ma^2}{ma} = \frac{J_0}{ma}+a,

kde a označuje vzdálenost těžiště od bodu O.

Kýve-li se těleso kolem středu kyvu O^\prime, platí podle Steinerovy věty

J^\prime = J_0 + m{(l-a)}^2

Pro redukovanou délku dostaneme

l^\prime = \frac{J^\prime}{m(l-a)} = \frac{J_0}{m(l-a)}+(l-a)

Z předchozích vztahů pak plyne

l^\prime = a\frac{l-a}{l-a}+(l-a) = l

Redukovaná délka pro osu O^\prime je tedy stejná jako pro původní osu O.


Pokud je těleso zavěšeno v bodě O^\prime, který je od bodu O vzdálen o redukovanou délku l, dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Související články[editovat | editovat zdroj]