Steinerova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Steinerova věta umožňuje vypočítat moment setrvačnosti tělesa rotujícího kolem osy, která neprochází jeho těžištěm. Je tak například možné vypočítat moment setrvačnosti tělesa složeného z několika základních těles, stačí znát momenty setrvačnosti jednotlivých těles a vzdálenost jejich těžišť od těžiště složeného tělesa.

Základní znění[editovat | editovat zdroj]

"Moment setrvačnosti k mimotěžišťní ose je roven součtu momentu k těžišťní ose a součinu velikosti plochy a čtverce vzdálenosti obou rovnoběžných os."

Základní vzorec[editovat | editovat zdroj]

Za předpokladu, že J_T představuje moment setrvačnosti tělesa k ose procházející těžištěm, m hmotnost tělesa a r_T vzdálenost osy rotace od těžiště, potom lze moment setrvačnosti J k dané ose vypočítat následovně.

J = J_T + m \, r_T^2

Tenzorový počet[editovat | editovat zdroj]

Pokud je moment setrvačnosti tenzorem (tenzor setrvačnosti), potom lze Steinerovu větu formulovat následovně (E je jednotková matice, rT je vektor se složkami [xT; yT; zT] popisující vzdálenost osy rotace od těžiště, symbol \otimes značí tenzorový součin).

\bold J = \bold J_T + m \left( \bold E \bold r_T^2 - \bold r_T \otimes \bold r_T \right) = \bold J_T + m \left[ \begin{matrix} y_T^2+z_T^2 & -x_T y_T & -x_T z_T \\ -x_T y_T & x_T^2+z_T^2 & -y_T z_T \\ -x_T z_T & -y_T z_T & x_T^2+y_T^2 \end{matrix} \right]

Důsledek[editovat | editovat zdroj]

Ze všech rovnoběžných os, které procházejí tělesem v daném směru, přísluší ose jdoucí těžištěm nejmenší moment setrvačnosti.

Související články[editovat | editovat zdroj]