Inverzní normální rozdělení

Inverzní normální rozdělení (také Inverzní Gaussovo rozdělení, Waldovo rozdělení) je jedním z rozdělení pravděpodobnosti v teorii pravděpodobnosti. Patří mezi rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny a funkce jeho hustoty je:

f(x;\mu ,\lambda )=\left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp \left\{{\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right\}

,

kde $\mu >0$ a $\lambda >0$ jsou parametry rozdělení a rovněž platí $x\in (0,\infty )$ , tedy nosičem funkce hustoty jsou kladná reálná čísla.

Pro vyjádření, že náhodná veličina $X$ má inverzní Gaussovo rozdělení, je používáno značení $X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\!$ .

Rozdělením se poprvé zabýval v roce 1915 rakouský fyzik Erwin Schrödinger v souvislosti se zkoumáním Brownova pohybu. Americký matematik Abraham Wald jej znovuobjevil při zkoumání náhodných posloupností.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota rozdělení je $\operatorname {E} (X)=\mu$ .
Rozptyl rozdělení je $\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}$ .
Směrodatná odchylka rozdělení je $\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$ .
Koeficient šikmosti rozdělení je $\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}$ .
Koeficient špičatosti rozdělení je $\gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}$
Charakteristická funkce rozdělení je $\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}$ .
Momentová vytvořující funkce rozdělení je $m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}$ .

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Inverse Gaussian distribution na anglické Wikipedii a Inverse Normalverteilung na německé Wikipedii.

. Inverzní Gaussovo rozdělení a jeho užití v pojistné matematice. Praha, 2008. bakalářská. Vedoucí práce Lucie Mazurová. Dostupné online.