Diracova delta funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání
Schematická reprezentace Diracovy δ-funkce.

Diracova δ-funkce nebo Diracovo delta se dá neformálně popsat jako funkce, která má v nule hodnotu nekonečno a všude jinde nulovou. Je značena řeckým písmenem delta. Její integrál přes celý prostor je roven 1.

\delta(x) = \left\{\begin{matrix} +\infty & \mbox{pro } x=0 \\ 0 & \mbox{pro } x\ne0 \end{matrix}\right.
\int\delta(x)\,\mathrm{d}x = 1

Matematicky přesnější zavedení říká, že Diracovo delta není funkce ale distribuce. Diskrétním ekvivalentem Diracova delta je Kroneckerovo delta.

Obsah

[editovat] Vyjádření Diracovy funkce

Diracovu δ-funkci lze vyjádřit různými způsoby. Pro komplexní čísla například ve tvaru integrálu.

\delta(x) = \frac1{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx}\,\mathrm{d}k

Nebo pomocí limit.

\delta(x) = \lim_{L\to\infty}\frac{\sin xL}{x\pi}
\delta(x) = \lim_{a\to0}\frac1\pi\frac{a}{a^2+x^2}
\delta(x) = \lim_{a\to0}\frac1{a\sqrt\pi}e^{-x^2/a^2}

[editovat] Vlastnosti

Působí jako jednotkový operátor při integraci.

\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)\,\mathrm{d}x = f(a)

Mezi další užitečné vlastnosti patří následující.

δ(x) = δ( − x)
xδ(x) = 0
\delta(ax) = \frac{\delta(x)}{|a|}
f(x)δ(x − a) = f(a)δ(x − a)
\int_{-\infty}^\infty \delta(a-x)\delta(x-b)\,\mathrm{d}x = \delta(a-b)
\delta(x^2-a^2) = \frac{\delta(x-a)+\delta(x+a)}{2|a|}

Furierovou transformací delta funkce je jednička, obecněji:

Fδa(x) = e − 2πaξ

Kde δa(x) = δ(x − a) je posunutá delta funkce.

Často je využíván vztah delta funkce ke konvoluci, platí totiž:

δa(x) * f(x) = f(x − a)

Konvoluce funkce s delta funkcí má tedy za následek posunutí této funkce. Pro standardní delta funkce (a=0) se vůči konvoluci chová jako identita.

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Diracova_delta_funkce“