Diracovo delta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Schematická reprezentace Diracovy \delta-funkce.
Diracova funkce jako limita \delta(x) = \lim_{a\to0^+}\frac1{a\sqrt\pi}e^{-x^2/a^2}

Diracovo delta nebo Diracova \delta-funkce se dá neformálně popsat jako funkce, která má v nule hodnotu nekonečno a všude jinde nulovou. Je značena řeckým písmenem delta. Její integrál přes celý prostor je roven jedné.

\delta(x) = \left\{\begin{matrix} 
+\infty & \mbox{pro } x=0  \\ 
0 & \mbox{pro } x\ne0 \end{matrix}\right.
\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\,\mathrm{d}x = 1
\int_{-\infty}^x \delta(t)\,\mathrm{d}t = H(x) , kde H znamená Heavisideovu funkci

V souvislosti se zpracováním signálu bývá Diracova funkce označována také jako Diracův jednotkový impuls. (Jednotkový právě pro integrál rovný jedné)

Matematicky přesnější definice říká, že Diracovo delta není funkce, ale distribuce. Diskrétním ekvivalentem Diracova delta je Kroneckerovo delta.

Vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Diracovu \delta-funkci lze vyjádřit různými způsoby. Pro komplexní čísla například ve tvaru integrálu.

\delta(x) = \frac1{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx}\,\mathrm{d}k[1]

Nebo pomocí limit.

\delta(x) = \lim_{L\to\infty}\frac{\sin xL}{x\pi}[2]
\delta(x) = \lim_{a\to0^+}\frac1\pi\frac{a}{a^2+x^2}[3]
\delta(x) = \lim_{a\to0^+}\frac1{a\sqrt\pi}e^{-x^2/a^2} [4]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Označení posunuté („doprava“) delta funkce:

\delta_a(x) \equiv \delta(x-a)
  • Delta funkce je sudá funkce.
\delta(x) = \delta(-x)
  • Působí jako jednotkový operátor při integraci.
\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty f(x)\delta_a(x)\,\mathrm{d}x = f(a)
  • Konvoluce libovolné funkce s delta funkcí je rovna této funkci.
f(x)*\delta(x) = \delta(x)*f(x) = f(x)
  • Konvoluce s posunutou delta funkcí má za následek posunutí této funkce.
f(x)*\delta_a(x) = f(x-a)
\mathcal{F}\left[\delta(x)\right] = D(\xi) = 1
  • Z toho plyne, že zpětná Fourierova transformace jednotkové funkce je ve smyslu distribuce rovna delta funkci.
\delta(x) = \int_{-\infty}^\infty e^{\,2\pi i x \,\xi}\,\mathrm{d}\xi
  • Pro Fourierovu transformaci posunuté delta funkce platí:
\mathcal{F}\left[\delta_a(x)\right] = D_a(\xi) = e^{-2\pi i a \,\xi}
  • Další vztahy[5]:
x\delta(x) = 0\,
\delta(ax) = \frac{\delta(x)}{|a|}\,
f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)\,
\int_{-\infty}^\infty \delta(a-x)\delta(x-b)\,\mathrm{d}x = \delta(a-b)\,
\delta(x^2-a^2) = \frac{\delta(x-a)+\delta(x+a)}{2|a|}\,

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Dirac delta function: Integral representations
  2. Delta function -- from Wolfram Mathworld, Rovnice (37)
  3. Delta function -- from Wolfram Mathworld, Rovnice (34)
  4. Delta function -- from Wolfram Mathworld, Rovnice (36)
  5. http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#Properties

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]