Heavisideova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
H1(x)
H1/2(x)

Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).

Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:

H_p(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ pro }x<0 \\ p & \mbox{ pro }x=0 \\ 1 & \mbox{ pro }x> 0 \end{matrix}\right.,

kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí p = H_p(0)).

Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).

Hodnota v nule[editovat | editovat zdroj]

Parametr p z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť míra množiny \{0\} je nulová.

Nastavíme-li p=H(0)=1/2, můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):

H(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2}

Pro případ, kdy p=1 nebo p=0 můžeme též chápat Heavysideovu funkci takto: H_1 = \chi_{\langle 0, \infty)} respektive H_0 = \chi_{(0, \infty)} kde \chi_M značí charakteristickou funkci množiny M.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako

H(x) = \int_{-\infty}^x \delta(t)\mathrm{d}t

Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]