Centrální moment

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo $k$ je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje $\mu _{k}$.

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny $X$ je definován vzorcem

$\mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]$,

kde $\mu$ je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

$\mu _{k}=\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-\mu )^{k}p_{i}$,

kde $p_{i}$ je pravděpodobnost, že $X$ nabývá hodnoty $x_{i}$.

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

$\mu _{k}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\operatorname {d} x$,

kde $f(x)$ je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem $\sigma ^{2}$ nebo $\operatorname {var} \,X$.

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

$\mu _{k}\left(X+c\right)=\mu _{k}(X)$

Pro násobení konstantou platí

$\mu _{k}\left(cX\right)=c^{k}\mu _{k}(X)$

Pro $k\leq 3$ a nezávislé náhodné veličiny $X,Y$ platí

$\mu _{k}\left(X+Y\right)=\mu _{k}(X)+\mu _{k}(Y)$

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

$\mu _{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-1)^{k-i}\mu ^{k-i}\mu _{i}^{\prime }$,

kde $\mu$ je střední hodnota a $\mu _{i}^{\prime }$ je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

$m_{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{k}$

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

${\begin{aligned}M_{2}&={\frac {n}{n-1}}k_{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\\M_{3}&={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)}}m_{3}\\M_{4}&={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)(n-3)}}(n+1)m_{4}-3(n-1)m_{2}^{2}\\\end{aligned}}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Central moment na anglické Wikipedii.

Portály: Matematika