Centrální limitní věta

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož se (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce. Věta však není platná například pro Cauchyho rozdělení. Zobecněně je limitním stabilní rozdělení.

Moivreova-Laplaceova věta

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem $n\,\!$ nezávislých náhodných veličin $X_{i}\,\!$ s alternativním rozdělením (s parametrem $\pi \,\!$) vytvoříme veličinu $X\,\!$, která má binomické rozdělení s parametry $n\,\!$ a $\pi \,\!$, pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U={\frac {X-n\pi }{\sqrt {n\pi (1-\pi )}}}\,\!$

platí vztah

$\lim _{n\to \infty }P(U<u)=\Phi (u)\,\!$

pro $-\infty <u<\infty \,\!$, kde $\Phi (u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname {N} (0,1)\,\!$.

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

Lévyho-Lindebergova věta

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina $X\,\!$ součtem $n\,\!$ vzájemně nezávislých náhodných veličin $X_{1},X_{2},...,X_{n}\,\!$ se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou $\operatorname {E} (X_{i})=\mu \,\!$ a konečným rozptylem $D(X_{i})=\sigma ^{2}\,\!$, pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U={\frac {X-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}\,\!$

platí opět vztah

$\lim _{n\to \infty }P(U<u)=\Phi (u)\,\!$

pro $-\infty <u<\infty \,\!$, kde $\Phi (u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname {N} (0,1)\,\!$. Veličina $U\,\!$ má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

$Y={\frac {X-n\mu }{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\limits \left(X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})\right)}{n}}\to 0\,\!$ skoro jistě.

Ljapunovova věta

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin $X_{i}\,\!$ konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny $X_{i}\,\!$ nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina $X\,\!$ je součtem vzájemně nezávislých veličin $X_{i}\,\!$, které mají konečné střední hodnoty $\operatorname {E} (X_{i})<\infty \,\!$ a konečné třetí centrální momenty $\operatorname {E} \left({\left|X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})\right|}^{3}\right)<\infty \,\!$. Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\left[{\sum _{i=1}^{n}\limits \operatorname {E} \left({\left|X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})\right|}^{3}\right)}\right]^{\frac {1}{3}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\limits D(X_{i})}}}=0\,\!$.

Pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U={\frac {X-\sum _{i=1}^{n}\limits \operatorname {E} (X_{i})}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\limits D(X_{i})}}}\,\!$

platí vztah

$\lim _{n\to \infty }P(U<u)=\Phi (u)\,\!$

pro $-\infty <u<\infty \,\!$, kde $\Phi (u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname {N} (0,1)\,\!$.

Odkazy

Související články

• Zákon velkých čísel
• Pravděpodobnostní konvergence
• Čebyševova nerovnost
• Benfordův zákon

Portály: Matematika