Distribuční funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Distribuční funkce několika normálních rozdělení s různými charakteristikami. Červenou čárou je vyznačeno normované normální rozdělení.
Hustota pravděpodobnosti několika normálních rozdělení.

Distribuční funkce, funkce rozdělení (pravděpodobnosti) nebo (spíše lidově) (zleva) kumulovaná pravděpodobnost (anglicky Cumulative Distribution Function, CDF) je funkce, která udává pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné je menší než zadaná hodnota (nerovnost může být i neostrá).

Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobnosti a ve spojitém případě je úzce spjatá s funkcí hustoty pravděpodobnosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť X je náhodná proměnná z určitého rozdělení a x je libovolné reálné číslo. Potom funkci F:\mathbb{R}\to\langle0,1\rangle definovanou předpisem

F(x)=\mathrm{Pr}[X\le x]

nazýváme distribuční funkce tohoto rozdělení. V případě, že X je spojitá náhodná proměnná s hustotou f, potom platí:

F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.

Vlastnosti distribuční funkce[editovat | editovat zdroj]

Popis Matematická formulace
Distribuční funkce je zleva spojitá \lim_{x\to\alpha^{-}}F(x)=F(\alpha)
Distribuční funkce je neklesající \alpha<\beta\Rightarrow F(\alpha)\le F(\beta)
Asymptotické vlastnosti \lim_{x\to+\infty}F(x)=1

\lim_{x\to-\infty}F(x)=0

Pro libovolnou dvojici \alpha,\beta platí \mathrm{Pr}[\alpha<x\le\beta]=F(\beta)-F(\alpha)

Příklady[editovat | editovat zdroj]

V nasledující tabulce jsou uvedeny příklady distribučních funkcí. Distribuční funkci není možné vždycky vyjádřit explicitním vzorcem, jako je tomu u normálního rozdělení. V tomto případě se používá přímo definice distribuční funkce ve spojitém případě jako funkce horní hranice.

Rozdělení Distribuční funkce
Rovnoměrné rozdělení na intervalu [\alpha,\beta] F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x<\alpha\\\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}&x\in[\alpha,\beta]\\1&x>\beta\end{array}\right.
Normální rozdělení F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int\limits_{-\infty}^{x}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}
Exponenciální rozdělení F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x<0\\1-\exp\{-\lambda x\}&x\ge0\end{array}\right.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Distribučná funkcia (štatistika) na slovenské Wikipedii.


Související články[editovat | editovat zdroj]