Centrální limitní věta

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož se (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce.

Moivreova-Laplaceova věta

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem $n\,\!$ nezávislých náhodných veličin $X_i\,\!$ s alternativním rozdělením (s parametrem $\pi\,\!$) vytvoříme veličinu $X\,\!$, která má binomické rozdělení s parametry $n\,\!$ a $\pi\,\!$, pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U = \frac{X-n\pi}{\sqrt{n\pi (1-\pi)}}\,\!$

platí vztah

$\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)\,\!$

pro $-\infty<u<\infty\,\!$, kde $\Phi(u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname{N}(0,1)\,\!$.

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

Lévyho-Lindebergova věta

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina $X\,\!$ součtem $n\,\!$ vzájemně nezávislých náhodných veličin $X_1, X_2, ..., X_n\,\!$ se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou $\operatorname{E}(X_i)=\mu\,\!$ a konečným rozptylem $D(X_i)=\sigma^2\,\!$, pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U = \frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\,\!$

platí opět vztah

$\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)\,\!$

pro $-\infty<u<\infty\,\!$, kde $\Phi(u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname{N}(0,1)\,\!$. Veličina $U\,\!$ má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

$Y = \frac{X-n\mu}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n \left(X_i-\operatorname{E}(X_i)\right)}{n} \to 0\,\!$ skoro jistě.

Ljapunovova věta

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin $X_i\,\!$ konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny $X_i\,\!$ nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina $X\,\!$ je součtem vzájemně nezávislých veličin $X_i\,\!$, které mají konečné střední hodnoty $\operatorname{E}(X_i) < \infty \,\!$ a konečné třetí centrální momenty $\operatorname{E}\left({\left|X_i-\operatorname{E}(X_i)\right|}^3\right) < \infty\,\!$. Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[3]{\sum_{i=1}^n \operatorname{E}\left({\left|X_i-\operatorname{E}(X_i)\right|}^3\right)}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n D(X_i)}} = 0\,\!$.

Pak pro normovanou náhodnou veličinu

$U = \frac{X - \sum_{i=1}^n \operatorname{E}(X_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n D(X_i)}}\,\!$

platí vztah

$\lim_{n\to\infty} P(U<u) = \Phi(u)\,\!$

pro $-\infty<u<\infty\,\!$, kde $\Phi(u)\,\!$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\operatorname{N}(0,1)\,\!$.

Využití ve výpočtech

Zde následuje typický příklad použití CLV. Máme náhodnou veličinu X se známou střední hodnotou a rozptylem (rozdělení znát nemusíme), a chceme zjistit, s jakou pravděpodobností je menší než dané x.

$\lim_{n\to\infty} P(X<x) = \lim_{n\to\infty} P\left(\frac{X-EX}{\sqrt{var X}} < \frac{x-EX}{\sqrt{var X}}\right) = \Phi\left(\frac{x-EX}{\sqrt{var X}}\right) = \alpha \,\!$

Hodnota $\Phi(x)$ je tabelována.

Můžeme chtít i opačný postup - ptáme se jaké hodnoty nabude náhodná veličina X s danou pravděpodobností $\alpha$. V takovémto případě stačí použít inverzní distribuční funkci normovaného normálního rozdělení:

$\Phi\left(\frac{x-EX}{\sqrt{var X}}\right) = \alpha => \frac{x-EX}{\sqrt{var X}} = \Phi^{-1}(\alpha) => x = EX + \sqrt{var X}*\Phi^{-1}(\alpha)\,\!$

Hodnota $\Phi^{-1}$ je také tabelována a nazývá se kvantilová funkce.

Tyto výpočty jsou sice všechny asymptotické, ale v praxi funguje CLV dobře už pro velmi malá n (stačí okolo 30).

Související články

• Zákon velkých čísel
• Pravděpodobnostní konvergence
• Čebyševova nerovnost