Čebyševova nerovnost

Čebyševovy nerovnosti se využívají v teorii pravděpodobnosti k důkazu centrálních limitních vět a zákona velkých čísel.

Čebyševova nerovnost I.typu

Čebyševovou nerovností I. typu označujeme tvrzení, že pro libovolnou nezápornou náhodnou veličinu $X\,\!$ se střední hodnotou $\operatorname{E}(X)\,\!$ je pravděpodobnost, že veličina $X\,\!$ nabude alespoň hodnoty $\varepsilon\,\!$ dána podmínkou

$P(X\geq\varepsilon)\leq \frac{\operatorname{E}(X)}{\varepsilon}\,\!$

pro všechna $\varepsilon>0\,\!$. (Tato nerovnost se někdy v literatuře označuje jako Markovova.)

Čebyševova nerovnost II.typu

Pro libovolnou náhodnou veličinu $X\,\!$ se střední hodnotou $\operatorname{E}(X)\,\!$ a rozptylem $D(X)\,\!$ je pravděpodobnost, že absolutní hodnota $|X-\operatorname{E}(X)|\,\!$ nabude hodnoty menší než libovolné $\varepsilon>0\,\!$ omezena Čebyševovou nerovností II. typu

$P(|X-\operatorname{E}(X)|<\varepsilon)\geq 1-\frac{D(X)}{\varepsilon^2}\,\!$

nebo také

$P(|X-\operatorname{E}(X)|<\varepsilon\cdot\sigma)\geq 1-\frac{1}{\varepsilon^2}\,\!$

kde $\sigma = \sqrt{D(X)}$

Související články

• Zákon velkých čísel
• Centrální limitní věta
• Čebyševova nerovnost pro konečné součty