Arctg2

V matematice (zejména při převodech mezi soustavami souřadnic) často bývá problém jen pomocí cyklometrických funkcí popsat inverzní funkci k zobrazení mezi těmito soustavami souřadnic. V takovýchto případech (a zejména v programování) se často zavadí funkce arctg2(y,x), jejíž hodnota je shodná s úhlem sevřeným mezi osou x a průvodičem bodu (x,y).

Definice

$\operatorname{arctg2}(y,x)$ je funkce $\mathbb R\times \mathbb R \rarr \langle 0;2\pi)$ definovaná následujícím přepisem:

$\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \and (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \and (y<0), \\ \end{matrix}\right.$

kde arctg(x) je arkus tangens.

Jiná definice pomocí distribucí, konkrétně Heavisideovy skokové funkce $\theta(x)$:

$\operatorname{arctg2}(y,x) = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) +\pi\theta(-x)+2\pi\theta(x)\theta(-y).$

Užití

Pomocí takto definované funkce můžeme snadno zapsat např. přechod od kartézských souřadnic k polárním a jeho inverzní funkci jako

$x = r \cos{\varphi}\,$

$y = r \sin{\varphi}\,$

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right).$

Stejnětak lze funkci arctg2(y,x) užít v případě přechodů mezi kartézkou soustavou souřadnic a sférickou soustavou souřadnic, resp. válcovou soustavou souřadnic.