Algebraicky uzavřené těleso

Matematický pojem algebraicky uzavřené těleso označuje takové těleso $T$, pro které platí, že každý mnohočlen stupně alespoň 1 s koeficienty z tělesa $T$ má v $T$ alespoň jeden kořen.

Příklady

Těleso reálných čísel není algebraicky uzavřené, neboť například mnohočlen $x^{2}+1=0$ nemá v reálných číslech žádné řešení, ačkoliv je stupně 2 a všechny jeho koeficienty (totiž 1 a 1) jsou reálná čísla. Jednička je obsažena i v každém podtělese reálných čísel, proto pro podtělesa reálných čísel můžeme použít stejný argument a vidíme, že ani ony nejsou algebraicky uzavřené. Tedy speciálně těleso racionálních čísel není algebraicky uzavřené.

Algebraicky uzavřené není ani žádné konečné těleso. Označíme-li totiž prvky konečného tělesa po řadě $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$, můžeme zkonstruovat mnohočlen $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{k})+1$, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$ není jeho kořenem.

Naproti tomu těleso komplexních čísel algebraicky uzavřené je, jak říká základní věta algebry.

Odkazy

Externí odkazy

• Algebraicky uzavřené těleso v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika