Algebraicky uzavřené těleso

Matematický pojem algebraicky uzavřené těleso označuje takové těleso $T$, pro které platí, že každý mnohočlen stupně alespoň 1 s koeficienty z tělesa $T$ má v $T$ alespoň jeden kořen.

Příklady

Těleso reálných čísel není algebraicky uzavřené, neboť například mnohočlen $x^2+1=0$ nemá v reálných číslech žádné řešení, ačkoliv je stupně 2 a všechny jeho koeficienty (totiž 1 a 1) jsou reálná čísla. Jednička je obsažena i v každém podtělese reálných čísel, proto pro podtělesa reálných čísel můžeme použít stejný argument a vidíme, že ani ony nejsou algebraicky uzavřené. Tedy speciálně těleso racionálních čísel není algebraicky uzavřené.

Algebraicky uzavřené není ani žádné konečné těleso. Označíme-li totiž prvky konečného tělesa po řadě $a_1,a_2,\dots,a_k$, můžeme zkonstruovat mnohočlen $(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k) + 1$, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z $a_1,a_2,\dots,a_k$ není jeho kořenem.

Naproti tomu těleso komplexních čísel algebraicky uzavřené je, jak říká základní věta algebry.

Odkazy

Externí odkazy

• (anglicky)  Algebraicky uzavřené těleso v encyklopedii MathWorld