Algebraicky uzavřené těleso

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Matematický pojem algebraicky uzavřené těleso označuje takové těleso T, pro které platí, že každý mnohočlen stupně alespoň 1 s koeficienty z tělesa T má v T alespoň jeden kořen.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Těleso reálných čísel není algebraicky uzavřené, neboť například mnohočlen x^2+1=0 nemá v reálných číslech žádné řešení, ačkoliv je stupně 2 a všechny jeho koeficienty (totiž 1 a 1) jsou reálná čísla. Jednička je obsažena i v každém podtělese reálných čísel, proto pro podtělesa reálných čísel můžeme použít stejný argument a vidíme, že ani ony nejsou algebraicky uzavřené. Tedy speciálně těleso racionálních čísel není algebraicky uzavřené.

Algebraicky uzavřené není ani žádné konečné těleso. Označíme-li totiž prvky konečného tělesa po řadě a_1,a_2,\dots,a_k, můžeme zkonstruovat mnohočlen (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k) + 1, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z a_1,a_2,\dots,a_k není jeho kořenem.

Naproti tomu těleso komplexních čísel algebraicky uzavřené je, jak říká základní věta algebry.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]