Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo nebo metoda determinantů je matematický vzorec pro popis řešení soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí determinantů matice soustavy a matic z ní získaných nahrazením jednoho sloupce vektorem pravých stran. Je pojmenována po Gabrielu Cramerovi (1704 – 1752), který v roce 1750 publikoval pravidlo pro libovolný počet neznámých.

Cramerovo pravidlo má především teoretický význam, protože výpočet mnoha determinantů obvyklým způsobem je výpočetně náročný. V praxi se proto pro řešení soustav používají jiné metody numerické matematiky.

Znění

Nechť čtvercová matice ${\boldsymbol {A}}$ řádu $n$ je matici soustavy $n$ lineárních rovnic o $n$ neznámých (čili počet neznámých i rovnic je shodný). Nechť ${\boldsymbol {A}}_{i}$ je matice, získaná z matice ${\boldsymbol {A}}$ nahrazením $i$-tého sloupce sloupcem pravých stran.

Konkrétně, pro matici soustavy ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$a vektor pravých stran ${\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

má ${\boldsymbol {A}}_{i}$ tvar:

${\boldsymbol {A}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Pokud je matice soustavy ${\boldsymbol {A}}$ regulární, pak má soustava právě jedno řešení. Jednotlivé složky řešení ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ jsou určeny podíly

$x_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}$.

Konkrétně, pro soustavu o dvou neznámých

${\begin{array}{rcrcr}\color {blue}{a_{11}}\,\color {black}x_{1}&+&\color {blue}{a_{12}}\,\color {black}x_{2}&=&\color {green}{b_{1}}\\\color {blue}{a_{21}}\,\color {black}x_{1}&+&\color {blue}{a_{22}}\,\color {black}x_{2}&=&\color {green}{b_{2}}\end{array}}$

s rozšířenou matici soustavy

$({\color {blue}{\boldsymbol {A}}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}\color {blue}{a_{11}}&\color {blue}{a_{12}}&\color {green}{b_{1}}\\\color {blue}{a_{21}}&\color {blue}{a_{22}}&\color {green}{b_{2}}\end{array}}\right)$

je řešení dáno vzorci:

$x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}b_{1}&\color {blue}a_{12}\\\color {green}b_{2}&\color {blue}a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}a_{11}&\color {blue}a_{12}\\\color {blue}a_{21}&\color {blue}a_{22}\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}b_{1}}{\color {blue}a_{22}}-{\color {blue}a_{12}}{\color {green}b_{2}}}{{\color {blue}a_{11}}{\color {blue}a_{22}}-{\color {blue}a_{12}}{\color {blue}a_{21}}}}$ a

$x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {blue}{a_{11}}&\color {green}{b_{1}}\\\color {blue}{a_{21}}&\color {green}{b_{2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}a_{11}&\color {blue}a_{12}\\\color {blue}a_{21}&\color {blue}a_{22}\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {blue}{a_{11}}}{\color {green}{b_{2}}}-{\color {green}{b_{1}}}{\color {blue}{a_{21}}}}{{\color {blue}a_{11}}{\color {blue}a_{22}}-{\color {blue}a_{12}}{\color {blue}a_{21}}}}$

Pravidlo platí nejen v oboru reálných či komplexních čísel, ale i pro soustavy lineárních rovnic s koeficienty a neznámými v libovolném tělese.

Ukázky

Soustava o dvou neznámých

Reálná soustava lineárních rovnic:

${\begin{array}{rcrcr}\color {blue}{1}\,\color {black}x_{1}&+&\color {blue}{2}\,\color {black}x_{2}&=&\color {green}{3}\\\color {blue}{4}\,\color {black}x_{1}&+&\color {blue}{5}\,\color {black}x_{2}&=&\color {green}{6}\end{array}}$

dává rozšířenou matici soustavy:

$({\color {blue}{\boldsymbol {A}}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{cc|c}\color {blue}{1}&\color {blue}{2}&\color {green}{3}\\\color {blue}{4}&\color {blue}{5}&\color {green}{6}\end{array}}\right)$

Podle Cramerova pravidla je řešení soustavy určeno podíly:

$x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}3&\color {blue}2\\\color {green}6&\color {blue}5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}1&\color {blue}2\\\color {blue}4&\color {blue}5\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}3}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}2}\cdot {\color {green}6}}{{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}4}}}={\frac {3}{-3}}=-1$

$x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {blue}{1}&\color {green}{3}\\\color {blue}{4}&\color {green}{6}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{1}&\color {blue}{2}\\\color {blue}{4}&\color {blue}{5}\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {blue}{1}}\cdot {\color {green}{6}}-{\color {green}{3}}\cdot {\color {blue}{4}}}{{\color {blue}{1}}\cdot {\color {blue}{5}}-{\color {blue}{2}}\cdot {\color {blue}{4}}}}={\frac {-6}{-3}}=2$

Soustava o třech neznámých

Pro soustavu lineárních rovnic:

${\begin{array}{rcrcrcr}\color {black}x_{1}&+&\color {blue}2\,\color {black}x_{2}&+&\color {blue}5\,\color {black}x_{3}&=&\color {green}7\\\color {blue}2\,\color {black}x_{1}&+&\color {blue}3\,\color {black}x_{2}&&&=&\color {green}4\\\color {blue}3\,\color {black}x_{1}&+&\color {blue}5\,\color {black}x_{2}&+&\color {blue}3\,\color {black}x_{3}&=&\color {green}9\\\end{array}}$

s rozšířenou maticí

$({\color {blue}{\boldsymbol {A}}}\,|\,{\color {green}{\boldsymbol {b}}})=\left({\begin{array}{ccc|c}\color {blue}1&\color {blue}2&\color {blue}5&\color {green}7\\\color {blue}2&\color {blue}3&\color {blue}0&\color {green}4\\\color {blue}3&\color {blue}5&\color {blue}3&\color {green}9\end{array}}\right)$

jsou složky řešení podle Cramerova pravidla dána podíly:

$x_{1}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{1}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {green}7&\color {blue}2&\color {blue}5\\\color {green}4&\color {blue}3&\color {blue}0\\\color {green}9&\color {blue}5&\color {blue}3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}1&\color {blue}2&\color {blue}5\\\color {blue}2&\color {blue}3&\color {blue}0\\\color {blue}3&\color {blue}5&\color {blue}3\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {green}7}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {green}9}+{\color {blue}5}\cdot {\color {green}4}\cdot {\color {blue}5}-{\color {green}7}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}2}\cdot {\color {green}4}\cdot {\color {blue}3}-{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {green}9}}{{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}3}-{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}}}={\frac {4}{2}}=2$

$x_{2}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{2}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {blue}1&\color {green}7&\color {blue}5\\\color {blue}2&\color {green}4&\color {blue}0\\\color {blue}3&\color {green}9&\color {blue}3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}1&\color {blue}2&\color {blue}5\\\color {blue}2&\color {blue}3&\color {blue}0\\\color {blue}3&\color {blue}5&\color {blue}3\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {blue}1}\cdot {\color {green}4}\cdot {\color {blue}3}+{\color {green}7}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {green}9}-{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}3}-{\color {blue}5}\cdot {\color {green}4}\cdot {\color {blue}3}}{{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}3}-{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}}}={\frac {0}{2}}=0$

$x_{3}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{3}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {blue}1&\color {blue}2&\color {green}7\\\color {blue}2&\color {blue}3&\color {green}4\\\color {blue}3&\color {blue}5&\color {green}9\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}1&\color {blue}2&\color {blue}5\\\color {blue}2&\color {blue}3&\color {blue}0\\\color {blue}3&\color {blue}5&\color {blue}3\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {green}9}+{\color {blue}2}\cdot {\color {green}4}\cdot {\color {blue}3}+{\color {green}7}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}1}\cdot {\color {green}4}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {green}9}-{\color {green}7}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}}{{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}3}+{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}1}\cdot {\color {blue}0}\cdot {\color {blue}5}-{\color {blue}2}\cdot {\color {blue}2}\cdot {\color {blue}3}-{\color {blue}5}\cdot {\color {blue}3}\cdot {\color {blue}3}}}={\frac {2}{2}}=1$

Důkaz

Řešení soustavy splňuje vztah

$x_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+x_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$,

neboli $\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {a}}_{j}={\boldsymbol {b}}$, kde ${\boldsymbol {a}}_{j}$ značí $j$-tý sloupec matice ${\boldsymbol {A}}$.

Pro matici ${\boldsymbol {A}}$, sloupcový index $i$ a libovolný vektor ${\boldsymbol {v}}$ značí symbol ${\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {v}}]$ matici, která vznikne z ${\boldsymbol {A}}$ nahrazením jejího $i$-tého sloupce vektorem ${\boldsymbol {v}}$. Mimo jiné platí již dříve zavedená notace ${\boldsymbol {A}}_{i}={\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {b}}]$.

Cramerovo pravidlo vyplývá ze dvou vlastností determinantu:

• Determinant je multilineární vzhledem ke sloupcům (i řádkům) matice, tj. lineární vůči každému jednotlivému sloupci (řádku) a
• je alternující vzhledem k pořadí sloupů (řádků), což má mimo jiné za následek, že determinant matice se dvěma shodnými sloupci (řádky) je nulový.

Z linearity determinantu vyplývá:

$\det {\boldsymbol {A}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {b}}])=\det {\biggl (}{\boldsymbol {A}}{\biggl [}{\boldsymbol {a}}_{i}{\bigg /}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {a}}_{j}{\biggr ]}{\biggr )}=\det {\biggl (}\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])$

V rozvinutém tvaru lze tento krok zapsat:

${\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{1j}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}a_{nj}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}$

$=x_{1}{\begin{vmatrix}\color {red}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {red}a_{11}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\color {red}\vdots &\ddots &\vdots &\color {red}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\color {red}a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {red}a_{n1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots x_{i-1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &\color {red}a_{1,i-1}&\color {red}a_{1,i-1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\color {red}\vdots &\color {red}\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &\color {red}a_{n,i-1}&\color {red}a_{n,i-1}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}$

$+x_{i}{\color {blue}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&a_{1i}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&a_{ni}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}$

$+x_{i+1}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {red}a_{1,i+1}&\color {red}a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {red}\vdots &\color {red}\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {red}a_{n,i+1}&\color {red}a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}+\dots +x_{n}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&\color {red}a_{1n}&a_{1,i+1}&\cdots &\color {red}a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\color {red}\vdots &\vdots &\ddots &\color {red}\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&\color {red}a_{nn}&a_{n,i+1}&\cdots &\color {red}a_{nn}\\\end{vmatrix}}$

Matice ${\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{i}]$ (vyznačena modře) je totožná s ${\boldsymbol {A}}$, protože fakticky nedošlo k žádnému nahrazení. Pro každé $j\neq i$ má matice ${\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]$ svůj $i$-tý sloupec shodný s $j$-tým (vyznačeny červeně) a její determinant je roven nule.

Po vyloučení nulových členů ${\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}]$ pro $j\neq i$ se výraz redukuje na:

$\det {\boldsymbol {A}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det({\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{j}])=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}[{\boldsymbol {a}}_{i}/{\boldsymbol {a}}_{i}]=x_{i}\det {\boldsymbol {A}}$

Odtud Cramerovo pravidlo vyplývá vydělením obou stran nenulovým výrazem $\det {\boldsymbol {A}}$.

Krátký důkaz

Krátký důkaz Cramerova pravidla začíná pozorováním, že $x_{i}$ je determinant matice ${\boldsymbol {X}}_{i}$, která vznikne z jednotkové matice $\mathbf {I}$ nahrazením $i$-tého sloupce $\mathbf {e} _{i}$ vektorem řešení ${\boldsymbol {x}}$. V notaci předchozího důkazu jde o matici:

${\boldsymbol {X}}_{i}=\mathbf {I} [\mathbf {e} _{i}/{\boldsymbol {x}}]={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &x_{1}&\cdots &0\\0&1&\cdots &x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}&\cdots &1\end{pmatrix}}$

Za předpokladu, že původní matice ${\boldsymbol {A}}$ je regulární, lze sloupce matice ${\boldsymbol {X}}_{i}$ vyjádřit výrazy $({\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{i-1},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{i+1},\ldots ,{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {a}}_{n})$, kde ${\boldsymbol {a}}_{j}$ je $j$-tý sloupec matice ${\boldsymbol {A}}$. Připomeňme, že sloupce matice ${\boldsymbol {A}}_{i}$ jsou $({\boldsymbol {a}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{i-1},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}}_{i+1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n})$, a proto ${\boldsymbol {X}}_{i}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}_{i}$.

Zbývá využít fakt, že determinant součinu dvou matic je součinem determinantů, z čehož vyplývá:

$x_{i}=\det {\boldsymbol {X}}_{i}=\det({\boldsymbol {A}}^{-1})\det {\boldsymbol {A}}_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}.$

Další verze důkazu

${\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {b_{j}}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice ${\boldsymbol {A}}$ označíme ${\boldsymbol {A}}_{ji}$, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

${\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ji}}{\det {\boldsymbol {A}}}}$

Zlomek ve výrazu je prvkem $({\boldsymbol {A}}^{-1})_{i,j}$ inverzní matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$.

${\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}=\sum _{j=1}^{n}({\boldsymbol {A}}^{-1})_{i,j}b_{j}=({\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}})_{i}$

Protože ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$ a $\det {\boldsymbol {A}}\neq 0$, je ${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}$ a tedy

$x_{i}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}$

Výpočetní složitost

Cramerovo pravidlo implementované naivním způsobem je výpočetně neefektivní již pro soustavy s více než třemi rovnicemi. V případě $n$ rovnic o $n$ neznámých vyžaduje výpočet $n+1$ determinantů, zatímco Gaussova eliminace dává výsledek se stejnou výpočetní složitostí jako výpočet jediného determinantu.  Cramerovo pravidlo může být také numericky nestabilní i pro soustavy o dvou rovnicích. Nedávno se však ukázalo, že Cramerovo pravidlo lze implementovat se stejnou složitostí jako Gaussova eliminace (vyžaduje dvakrát tolik aritmetických operací a má stejnou numerickou stabilitu, pokud jsou použity stejné permutační matice).

Aplikace

Celočíselné programování

Cramerovo pravidlo lze použít k důkazu, že problém celočíselného programování, jehož matice omezení je totálně unimodulární a jehož pravá strana je celočíselná, má celočíselná bázická řešení, což výrazně usnadňuje řešení úlohy.

Obyčejné diferenciální rovnice

Cramerovo pravidlo se používá k odvození obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice metodou variace konstant.

Ricciho kalkul

Cramerovo pravidlo se používá v Ricciho kalkulu v různých výpočtech zahrnujících Christoffelovy symboly prvního a druhého druhu.

Cramerovo pravidlo lze zejména využít v důkazu, že operátor divergence na Riemannově varietě je invariantní vzhledem ke změně souřadnic.

Historie

Cramerovo pravidlo publikoval v roce 1750 Gabriel Cramer ve své knize Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques. V něm explicitně uvedl vzorce pro lineární soustavy rovnic až se třemi rovnicemi a popsal, jak lze vytvořit vzorce řešení pro soustavy rovnic s více rovnicemi. Protože determinant ještě nebyl zaveden, použil zlomky s polynomem v čitateli a jmenovateli. Jak ukazuje následující úryvek z původní práce, jsou totožné s polynomy Leibnizova vzorce .

Tento úryvek ukazuje, že Cramer ještě nepoužíval dnešní zápis soustav lineárních rovnic, protože v něm by vzorec zněl:

$x_{1}={\frac {b_{1}a_{22}a_{33}-b_{1}a_{32}a_{23}-b_{2}a_{12}a_{33}+b_{2}a_{32}a_{13}+b_{3}a_{12}a_{23}-b_{3}a_{22}a_{13}}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}}$

Sám Cramer si byl vědom, že soustavy lineárních rovnic nemají vždy jednoznačné řešení. Étienne Bézout pak v roce 1764 ukázal, pokud soustavu rovnic nelze jednoznačně vyřešit, je determinant matice soustavy (jmenovatel ve výše uvedeném výrazu) nulový. Cramer svůj vzorec nijak nedokázal, to provedl až Augustin Louis Cauchy v roce 1815. Cauchy také zavedl Cramerova pravidla, který se používá dodnes.

Již v roce 1678 si Cramerovo pravidlo zapsal Gottfried Wilhelm Leibniz ve svém rukopise. Ten však byl objeven až později a neměl tak žádný vliv na vývoj metod řešení soustav lineárních rovnic. Speciální případy Cramerova pravidla pro soustavy dvou nebo tří rovnic popsal Colin Maclaurin ve svém Pojednání o algebře, publikovaném v roce 1748. Přestože měl nápad rozšířit tyto vzorce i na soustavy rovnic s více rovnicemi, nenašel na rozdíl od Cramera žádné pravidlo, jak správně nastavit znaménka v použitých polynomech. Carl Benjamin Boyer vyvolal ve 20. století spor mezi matematickými historiky, zda byl objevitelem vzorce Maclaurin nebo Cramer. Doporučil, aby pravidlo bylo přejmenováno na Maclaurinovo-Cramerovo.

Odkazy

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180-198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• Regulární matice
• Determinant
• Adjungovaná matice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cramerovo pravidlo na Wikimedia Commons
• Pěstujeme lineární algebru
• Online výpočet soustav lineárních rovnic

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cramersche Regel na německé Wikipedii. V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cramer's rule na anglické Wikipedii.

Portály: Matematika