Výrok (logika)

Výrok je základní pojem formální logiky. Je to tvrzení vyjádřené v umělém formálním jazyce (jazyk matematiky, formální logiky, programovací jazyky), postavené tak, že má smysl klást otázku, zda platí (je pravdivé) či nikoliv (je nepravdivé). Avšak není nutné, aby hodnota pravdivosti byla zjistitelná. O výroku, pro který lze o pravdivosti rozhodnut a je pravdivý, říkáme, že je dokazatelný.

Umělý formální jazyk je schopen reprezentovat pouze entity exaktního světa (matematické – čísla, množiny…, geometrické – úsečka, kružnice…), jen o těch může vypovídat (viz Věda/Věda exaktní a neexaktní). O entitách reálného světa může vypovídat jen a jen tak, že se (ve vhodně redukované podobě) stanou součástí exaktního světa, tedy jsou-li reprezentovány prostřednictvím veličin (viz věda). Výrok se tedy nemůže vztahovat na inherentně vágní znalosti o entitách reálného světa, získané přirozeným poznáním, neboť ty z definice (viz Exaktní) nemohou být součástí exaktního světa a i z důvodu jejich vágnosti nelze získat ostré rozhodnutí o pravdivosti. Výpověď o pravdivosti by tak nutně musela mít vágní význam (viz Jazyk (lingvistika)). Výrok tedy nelze formulovat v přirozeném jazyce, jak se kdysi mylně uvádělo, neboť konstrukty (slova, věty) přirozeného jazyka mají neodstranitelnou vágnost interpretace (viz konotace) a nemohou tak být součástí formální logiky, která je exaktní disciplínou.

Definice

Výrok je tvrzení formulované v umělém formálním jazyce (jazyk matematiky, formální logiky, programovací jazyky), postavené tak, že má smysl klást otázku, zda platí (je pravdivé) či nikoliv (je nepravdivé).^[zdroj?]

Výroku může být přiřazena pravdivostní hodnota z uzavřeného intervalu ${\textstyle \langle 0;1\rangle }$., kde hodnota 0 obvykle značí nepravdivost a 1 značí pravdivost výroku. Pokud logika používá pouze krajní hodnoty intervalu ${\textstyle \langle 0;1\rangle }$, je označována jako dvouhodnotová, pokud používá více hodnot z onoho intervalu, říká se jí vícehodnotová, a pravdivost tak nabývá více hodnot mezi úplnou nepravdivostí a úplnou pravdivostí. Uvedený interval může být spojitý nebo diskrétní. Příkladem vícehodnotové logiky je fuzzy logika, která používá spojitý uzavřený interval ${\textstyle \langle 0;1\rangle }$ pravdivostních hodnot. Jiným příkladem vícehodnotové logiky může být trojhodnotová logika, kde významy oněch tří hodnot mohou být nepravda, není známo, pravda.

Pokud zápis obsahuje jednu nebo více proměnných (např. $x<5$), není to výrok, ale predikát či výroková forma (viz predikátová logika). Výrokem se stane dosazením hodnot všem proměnným či jejich kvantifikováním.

Ve formální logice je důležitým pojem dedukce (úsudku), tedy proces, kdy z množiny premis (předem daných výroků) jsou odvozeny nové výroky, která z předpokladu pravdivosti premis, jsou taky pravdivé.

Hypotéza (domněnka) je výrok, u něhož v daném okamžiku nejsme schopni rozhodnout, zda je pravdivý, či nepravdivý, ale víme jistě, že jedna z těchto dvou možností nastane.^[zdroj?]

Typy výroků

Jednoduchý (atomický) výrok

Jednoduché (atomické nebo elementární) výroky jsou výroky, které neobsahují logické spojky. (např. „Plocha čtverce je rovna druhé mocnině délky jeho strany.“, „79 je prvočíslo“). Jsou z logického hlediska dále nedělitelné a jsou prezentovány výrokovými proměnnými (nebo také výrokovými symboly). K označení se užívá malých písmen (např. $p,q$).

Složený výrok (formule)

Složené výroky jsou výroky, které vznikly z jednoduchých výroků použitím logických spojek. Značí se velkými písmeny (např. $A,B$).

Kvantifikovaný výrok

Kvantifikovaný výrok je takový výrok, který obsahuje kvantifikátor. Existují obecný kvantifikátor (symbol $\forall$) a existenční (symbol $\exists$).

Splnitelná formule

Formule, která je pravdivá pro alespoň jeden prvek univerza.

Tautologie

Formule, která je pravdivá pro všechny prvky univerza. Též se říká, že jsou analyticky pravdivé. Všechny pravdivé matematické věty jsou analyticky pravdivé výroky.

Kontradikce

Formule, která je nepravdivá pro všechny prvky univerza. Též se mluví o sporné množině formulí. Vyplývá z ní jakýkoliv a každý závěr.

Empirický výrok

Výrok vypovídající o reálném světě, může být jak pravdivý, tak nepravidivý.

Logické spojky

Související informace naleznete také v článcích Negace, Konjunkce (logika), Disjunkce, Implikace a Ekvivalence (logika).

Negace

Negace $p$ výroku je výrok $\lnot p$, ten má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok $p$. Slovně: „není pravda, že...“.

Konjunkce

Konjunkce (někdy logické násobení) $\textstyle p\land r$, slovně „$p$ a současně $r$“. Je-li konjunkce dvou výroků pravdivá, pak obě její části musí být pravdivé. Je-li konjunkce dvou výroků nepravdivá, pak alespoň jedna její část je nepravdivá.

Disjunkce

Disjunkce neboli alternativa (někdy logické sčítání) $\textstyle p\lor r$, slovně „$p$ nebo $r$“. Je-li disjunkce dvou výroků nepravdivá, pak obě její části musí být nepravdivé. Je-li disjunkce dvou výroků pravdivá, pak alespoň jedna její část musí být pravdivá.

Implikace

Iimplikace $p\supset r$ či $p\Rightarrow r$, slovně „jestliže $p$, potom (pak) $r$“. Je-li implikace dvou výroků nepravdivá, pak její první člen je pravdivý a druhý nepravdivý.

Ekvivalence

Ekvivalence $p\equiv r$ či $p\Leftrightarrow r$, slovně „$p$ právě tehdy, když $r$“, nebo „$p$ tehdy a jen tehdy $r$“. Je-li ekvivalence dvou výroků pravdivá, znamená to, že oba její členy jsou pravdivé, nebo oba nepravdivé, tj. mají stejnou pravdivostní hodnotu. Je-li ekvivalence dvou výroků nepravdivá, pak její členy nabývají různých pravdivostních hodnot.

Méně běžné spojky

Kromě výše uvedených se v počítačové technice používají i další spojky:

• XOR (z angl. exclusive OR), viz exkluzivní disjunkce
• NAND (z angl. not AND; negace konjunkce), viz hradlo NAND
• NOR, (z angl. not OR, negace disjunkce), viz hradlo NOR

Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků

Pravdivost složeného výroku je dána pravdivostní hodnotou jeho částí (výroků) a logickými spojkami, které jsou v něm obsaženy.

Pravdivostní tabulka pro negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci dvou výroků:

$p$	$r$	$\lnot p$	$\lnot r$	$\textstyle p\land r$	$\textstyle p\lor r$	$p\supset r$	$p\equiv r$
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Pravdivost celé formule

Spojení výroků (celou formuli) lze vyhodnotit analogicky. Pokud existuje formule $(p\supset q)\land r$, tak ve chvíli, kdy vyhodnotíme formuli $(p\supset q)$ například na pravdivá ($=1$), tak dostáváme klasickou konjunkci $1\land r$, kterou už lze řešit (viz tabulka).

Postupnou aplikací nejjednodušších výrokových spojek lze získat výslednou pravdivostní hodnotu celé formule. Často se používá tzv. tabulková metoda a Karnaughova mapa.

Odkazy

Literatura

• DUŽÍ, Marie. Logika pro informatiky [online]. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2012 [cit. 2025-02-13]. Kapitola Sémantický výklad výrokové logiky, s. 14–33. Dostupné online. ISBN 978-80-248-2662-2. 

Související články

• Predikátová logika
• Analytický soud
• Syntetický soud
• Logický obvod

Externí odkazy

• https://matematika.cz/vyroky Archivováno 21. 4. 2021 na Wayback Machine.

Autoritní data	GND: 4003809-9 LCCN: sh85107552 NLI: 987007541095505171

Portály: Matematika