Fibonacciho posloupnost

Jako Fibonacciho posloupnost je v matematice označována nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (čísla nacházející se ve Fibonacciho posloupnosti jsou někdy nazývána Fibonacciho čísla), kde každé číslo je součtem dvou předchozích. Rekurentní definice Fibonacciho posloupnosti tedy je:

F_{n}=\left\{{\begin{matrix}0\,,\qquad \qquad \qquad \quad \,\ \ \,&&{\mbox{pro }}n=0\,;\ \ \\1,\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&{\mbox{pro }}n=1;\ \ \,\\F_{n-1}+F_{n-2}&&{\mbox{jinak.}}\end{matrix}}\right.

Historie

Počet párů králíků podle Fibonacciho posloupnosti.

Fibonacciho posloupnost byla poprvé popsána italským matematikem Leonardem Pisánským (Leonardo z Pisy), známým také jako Fibonacci (cca 1175–1250), k popsání růstu populace králíků (za poněkud idealizovaných podmínek). Číslo F(n) popisuje velikost populace po n měsících, pokud předpokládáme, že

První měsíc se narodí jediný pár.
Nově narozené páry jsou produktivní od druhého měsíce svého života.
Každý měsíc zplodí každý produktivní pár jeden další pár.
Králíci nikdy neumírají, nejsou nemocní atd.

Prvních 21 Fibonacciho čísel F_n pro n = 0, 1, 2, ..., 20:^[1]

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉	F₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Posloupnost lze obdobně definovat i pro záporná čísla.

Zobecnění

Termín Fibonacciho posloupnost je někdy používán i pro jiné posloupnosti, ve kterých platí, že f(n+2) = f(n) + f(n+1). Libovolnou takovou posloupnost lze zapsat jako f(n+2) = aF(n) + bF(n+1), pro nějaké koeficienty a, b, tzn. tyto posloupnosti tvoří vektorový prostor s posloupnostmi F(n) a F(n+1)) jako bází.

Speciální případ takové obecné Fibonacciho posloupnosti s f(1) = 1 a f(2) = 3 se nazývá Lucasovo číslo.

Explicitní vyjádření

Dlaždice se čtverci, jejichž délky stran jsou po sobě jdoucí Fibonacciho čísla: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 a 21. Poměr stran obdélníku je zlatý řez (34:21).

Jak zjistil už Johannes Kepler, rychlost růstu Fibonacciho posloupnosti, tzn. podíl dvou po sobě jdoucích členů F(n+1) / F(n), konverguje k hodnotě zlatého řezu φ = (1+√5) / 2 ≈ 1,618. Pomocí tohoto faktu, techniky generujících funkcí, nebo pomocí řešení rekurentních rovnic lze dospět k následujícímu explicitnímu (nerekurzivnímu) vztahu pro n-tý člen Fibonacciho posloupnosti:

F\left(n\right)={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\varphi )^{n} \over {\sqrt {5}}}

Druhý člen této rovnice se s rostoucím n blíží nule, takže asymptotické chování Fibonacciho posloupnosti je dáno prvním členem, takže F(n) ≈ φⁿ / √5, z čehož je zřejmá již zmíněná rychlost růstu. Ve skutečnosti je druhý člen tak malý i pro malá n, že ho lze zcela zanedbat a Fibonacciho čísla získávat prostým zaokrouhlením prvního členu na nejbližší celé číslo.

Algoritmy výpočtu

Výpočet n-tého Fibonacciho čísla přímým dosazením do výše uvedeného explicitního vzorce je sice rychlá metoda, avšak kvůli hromadícím se nepřesnostem při výpočtu za použití čísel s plovoucí řádovou čárkou je pro větší n nepoužitelná.

Přímočará implementace výpočtu podle definice, rekurzivním algoritmem, je extrémně neefektivní. Technicky exponenciální v n.

Nejčastějším způsobem výpočtu je tedy postupný výpočet, ve kterém se začíná s hodnotami F(0) a F(1) a postupně se počítají další členy posloupnosti, přičemž v paměti stačí udržovat hodnotu dvou posledních členů.

Pro velmi vysoké hodnoty n je možno použít následující vzorec, využívající maticové operace:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}F\left(n+1\right)&F\left(n\right)\\F\left(n\right)&F\left(n-1\right)\end{bmatrix}}

Při použití vhodného algoritmu pro výpočet mocnin se jedná o relativně rychlý postup. Potřebuje logaritmický počet maticových a celočíselných operací.

Vlastnosti

Fibonacciho čísla jsou součty „mělkých úhlopříček“ Pascalova trojúhelníku. (červeně zvýrazněných)

F(n+2) = F(n) + F(n+1)
F(0) + F(1) + … + F(n) = F(n+2) − 1
F(1) + 2F(2) + 3F(3) + … + nF(n) = nF(n+2) − F(n+3) + 2
F(n) vyjadřuje počet způsobů, kterým lze vyrobit číslo n−1 jako součet čísel 1 a 2.
Číslo $x$ je Fibonacciho číslo, pokud výraz ${\sqrt {5x^{2}+4}}$ nebo ${\sqrt {5x^{2}-4}}$ je celé číslo.

Význam

Limita poměru dvou následujících čísel Fibonacciho posloupnosti je rovna zlatému řezu.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n+1)}{F(n)}}=\varphi$

Fibonacciho posloupnost je „manifestována“ přírodou, a to jak v říši živočišné, tak rostlinné. Objevuje se např.:

V semenících slunečnice, kde lze pozorovat jednotlivá semínka uspořádaná do spirál o dvou po sobě jdoucích číslech posloupnosti (na obrázku je to 34 a 55, tedy F(9) a F(10)).
Zdřevnatělé lístky plodu artyčoku jsou uspořádány do spirál vedoucích dvěma směry, jejichž počet kolem stonku opět tvoří dvě po sobě jdoucí čísla Fibonacciho posloupnosti (typicky 5 a 8, tedy F(5) a F(6)). Obdobně se tato vlastnost objevuje u šišek některých jehličnatých stromů, tam většinou počet spirál tvoří vyšší členy Fibonacciho posloupnosti.
Fibonacciho posloupnost popisuje genealogii včel, stejně jako složení jejich pohlaví.
Taktéž velikost sousedních vrstev listů zelí zachovává poměr dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti.
Poměr velikostí dvou po sobě jdoucích komůrek ulity některých plžů odpovídá poměru dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti.
Obdobný tvar lze najít u rohů některých druhů čeledi turovitých (Bovidae).
Fibonacciho posloupnost lze najít u celé řady vyšších rostlin, např. v poměru velikostí jejich listů, nebo úhlu, kterým ze stonku vyrůstají.
Jak v případě ulit mlžů, rohů čeledi turovitých i listů vyšších rostlin pro tento typ růstu platí, že v každém okamžiku růstu je těžiště (v limitním případě) stejné a daná rostlina nebo živočich se změně těžiště nemusí přizpůsobovat.
U tzv. zlaté spirály, která se taktéž vyskytuje v přírodě, převážně v živočišné říši, platí invariance vůči velikosti (tedy pohled do středu spirály zůstává týž při jakémkoli přiblížení či zvětšení).
Tyto projevy a zákonitosti Fibonacciho posloupnosti byly známy již starověkým Egypťanům.

Uspořádání řad semínek v květu slunečnice.
Fibonacciho „zlatá“ spirála, připomínající ulitu.
Ulita Valvata sincera.
koza šrouborohá

Další posloupnosti

V některých oborech se objevují čísla či posloupnosti nějak příbuzná s Fibonacciho posloupností.

Sekvence vyšších řádů

Fibonacciho sekvence vyšších (k-tých) řádů lze definovat jako:^[2]

T_{n}(k)=T_{n-1}+T_{n-2}+\ldots +T_{n-k}

(Základní Fibonacciho sekvence je druhého řádu.)

Tribonacciho čísla

Tribonacciho číslo (Fibonacciho sekvence 3. řádu) je definováno jako součet tří předchozích členů posloupnosti. Začátek posloupnosti:

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, ...

Tetranacciho čísla

Tetranacciho číslo (Fibonacciho sekvence 4. řádu) je definováno jako součet čtyř předchozích členů posloupnosti. Začátek posloupnosti:

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, …

Repfigity

Repfigit (repeated Fibonacci-like digit, též Keithovo číslo) je takové celé číslo, které se objevuje v zobecněné Fibonacciho posloupnosti, která začíná jednotlivými číslicemi tohoto čísla.^[3] Např. číslo 47 je repfigit, neboť zobecněná Fibonacciho posloupnost 4, 7, 11, 18, 29, 47, … obsahuje toto číslo. Pro trojciferná čísla se uvažuje Tribonacciho posloupnost atd. Posloupnost Keithových čísel začíná:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, …

Odkazy

Reference

↑ KNOTT, Ron. The first 300 Fibonacci numbers, factored [online]. UK: Surrey, rev. 3rd April 2011 [cit. 2019-03-23]. Kapitola Fib table. Dostupné online. (anglicky) Surrey má prvních 300 F_n faktorovaných na prvočísla a odkazuje na podrobnější tabulky.
↑ Lengyel T., Marques D.: The 2-adic Order of Some Generalized Fibonacci Numbers, INTEGERS, Volume 17 (2017) (anglicky)
↑ KEITH, Mike. Keith Numbers [online]. [cit. 2021-06-08]. Dostupné online.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Fibonacciho posloupnost na Wikimedia Commons
Fibonacciho posloupnost v encyklopedii Mathworld (anglicky)
Repfigity v katalogu celočíselných posloupností (A007629)
OEIS – On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:
- A000045 – Fibonacci numbers (anglicky)
- A000073 – Tribonacci numbers (anglicky)
- A000078 – Tetranacci numbers (anglicky)
- A007629 – Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) numbers (or Keith numbers). (Formerly M4922) (anglicky)

[1] KNOTT, Ron. The first 300 Fibonacci numbers, factored [online]. UK: Surrey, rev. 3rd April 2011 [cit. 2019-03-23]. Kapitola Fib table. Dostupné online. (anglicky) Surrey má prvních 300 F_n faktorovaných na prvočísla a odkazuje na podrobnější tabulky.

[2] Lengyel T., Marques D.: The 2-adic Order of Some Generalized Fibonacci Numbers, INTEGERS, Volume 17 (2017) (anglicky)

[3] KEITH, Mike. Keith Numbers [online]. [cit. 2021-06-08]. Dostupné online.

[1]

[2]

[3]