Lagrangeova funkce

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

$L=L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)=T(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)-V(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)$

kde $q_{1},q_{2},...,q_{m}\,$ jsou zobecněné souřadnice, ${\dot {q}}_{i}$ jsou zobecněné rychlosti, $T$ je celková kinetická energie, $V$ je potenciální energie a $m$ je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce $U(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)$, tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru $Q_{j}=-{\frac {\partial U}{\partial q_{j}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$. Pak:

$L=T(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)-U(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)$

Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí $L$ pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

$L_{\mathrm {var} }=L+{\dot {F}}(q_{1},q_{2},....q_{m},t)$,

kde $F$ je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

$L=\int {\mathcal {L}}(q_{j}(\mathbf {x} ),{\dot {q}}_{j}(\mathbf {x} ),t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x}$

Jednoduché příklady

• Lagrangián částice s rychlostí $v\,$ v konzervativním poli s potenciální energií $E_{\mathrm {p} }\,$

$L={\tfrac {1}{2}}mv^{2}-E_{\mathrm {p} }$

• Lagrangián částice s nábojem $q\,$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem $\varphi \,$ a magnetickým vektorovým potenciálem $\mathbf {A} \,$

$L={\tfrac {1}{2}}mv^{2}-q(\varphi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )$

• Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s $q\,$):

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q(\varphi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )$

Literatura

• BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272. 
• LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24-26. 

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Eulerova-Lagrangeova rovnice