Eulerova-Lagrangeova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Popis problému optimalizace[editovat | editovat zdroj]

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

.

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

,

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

Příklad: „Nejlevnější cesta“[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů ) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální. Lze si také představit, že funkce představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

,
,
.

Hodnotu integračních konstant c1 a c2 vypočteme z okrajových podmínek a a získáme tak hledanou funkci .

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]