Eulerova-Lagrangeova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Popis problému optimalizace[editovat | editovat zdroj]

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

 F \left( x, y(x), y'(x) \right) .

Aby funkce y(x) představovala extrémálu následujícího funkcionálu J,

 J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x ,

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

 \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0

Příklad: „Nejlevnější cesta“[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

 J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x
 y(0) = 0
 y(1) = 1

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů [x;y(x)]) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální. Lze si také představit, že funkce F(x,y,y') = y'^2+12xy představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

 12x - 2y'' = 0

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

 y'' = 6x ,
 y' = 3x^2 + c_1 ,
 y = x^3 + c_1 x + c_2 .

Hodnotu integračních konstant c1 a c2 vypočteme z okrajových podmínek  y(0) = 0 a  y(1) = 1 a získáme tak hledanou funkci  y(x) .

 c_1 = 0
 c_2 = 0
 y(x) = x^3

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]