Matematické kyvadlo: Porovnání verzí
Bez shrnutí editace |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
[[Soubor:Pendulum.svg|thumb|Matematické kyvadlo]] |
[[Soubor:Pendulum.svg|thumb|Matematické kyvadlo]] |
||
'''Matematické kyvadlo''' je [[matematika|matematickým]] modelem [[kyvadlo|kyvadla]]. U matematického kyvadla se zkoumá pouze [[hmotný bod]] zavěšený na tenkém vláknu zanedbatelné [[hmotnost]]i, zanedbává se [[odpor vzduchu]] při pohybu kyvadla i [[tření]] v závěsu a [[gravitační pole]] se považuje za homogenní. Matematické kyvadlo je mechanický [[oscilátor]], tedy zařízení, které po dodání počáteční [[energie]] volně [[kmitání|kmitá]] bez vnějšího působení. Při malých výchylkách (do asi ±5°) je průběh tohoto kmitání harmonický, lze jej tedy vyjádřit pomocí funkce [[sinus]]. |
'''Matematické kyvadlo''' je [[matematika|matematickým]] modelem [[kyvadlo|kyvadla]]. U matematického kyvadla se zkoumá pouze [[hmotný bod]] zavěšený na tenkém vláknu zanedbatelné [[hmotnost]]i, zanedbává se [[odpor vzduchu]] při pohybu kyvadla i [[tření]] v závěsu a [[gravitační pole]] se považuje za homogenní. Matematické kyvadlo je mechanický [[oscilátor]], tedy zařízení, které po dodání počáteční [[energie]] volně [[kmitání|kmitá]] bez vnějšího působení. Při malých výchylkách (do asi ±5°) je průběh tohoto kmitání harmonický, lze jej tedy vyjádřit pomocí funkce [[sinus]]. |
||
'''l''' |
|||
== Matematický popis == |
== Matematický popis == |
||
Verze z 7. 1. 2013, 12:14
Matematické kyvadlo je matematickým modelem kyvadla. U matematického kyvadla se zkoumá pouze hmotný bod zavěšený na tenkém vláknu zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a gravitační pole se považuje za homogenní. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, tedy zařízení, které po dodání počáteční energie volně kmitá bez vnějšího působení. Při malých výchylkách (do asi ±5°) je průběh tohoto kmitání harmonický, lze jej tedy vyjádřit pomocí funkce sinus.
Matematický popis
Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Velikost výsledné síly je
- ,
kde je tíhové zrychlení a φ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy. Diferenciální rovnice pro popis pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy
- ,
kde je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy malá (<5°), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí
- .
Diferenciální rovnice má proto jednodušší tvar
- .
Tato rovnice má řešení
- ,
kde je počáteční výchylka a je čas, což je rovnice harmonického oscilátoru s periodou
- .
Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla, hmotnost závaží na ni nemá vliv.
Reálné kyvadlo
Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení jsou potřeba eliptické integrály. Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Perioda kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady
- .
Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.
Redukovaná délka
Délka matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí
- ,
kde představuje redukovanou délku kyvadla, je hmotnost tělesa, je vzdálenost závěsu od těžiště a je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.
Reverzní kyvadlo
Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení a současně prochází těžištěm tělesa, redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod . Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě .
Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu , pak redukovaná délka je
- ,
kde označuje vzdálenost těžiště od bodu .
Kýve-li se těleso kolem středu kyvu , platí podle Steinerovy věty
Pro redukovanou délku dostaneme
Z předchozích vztahů pak plyne
Redukovaná délka pro osu je tedy stejná jako pro původní osu .
Pokud je těleso zavěšeno v bodě , který je od bodu vzdálen o redukovanou délku , dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem
- .