Neutrální prvek

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací $\otimes$ takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

Tzn. $e\otimes x=x$ (levý neutrální prvek) a $x\otimes e=x$ (pravý neutrální prvek).

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např $\cdot$, je e často nazýván jednotkovým prvkem ($1\cdot x=x$). V případě použití aditivního značení, např. $+$, je e často nazýván nulovým prvkem ($0+x=x\!$). Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Formální definice

Buď A množina a $\otimes$ operace na A.

• Prvek e z A se nazývá levý neutrální, právě když $\forall x\in A:e\otimes x=x$.

• Prvek e z A se nazývá pravý neutrální, právě když $\forall x\in A:x\otimes e=x$.

• Prvek e z A se nazývá neutrální, právě když $\forall x\in A:x\otimes e=e\otimes x=x$.

Příklady

• Pokud (A,$\otimes$) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
• Pokud (A,$\otimes$) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
• Pokud (A,$\otimes$) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
• Pokud (A,$\otimes$) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
• Pokud (A,$\otimes$) je množina všech zobrazení z množiny M do sebe sama a $\otimes$ je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná $\forall x\in M:id(x)=x$.
• Pokud má A pouze dva prvky e a f a operace $\otimes$ je definována tak, že $e\otimes e=f\otimes e=e$ a $f\otimes f=e\otimes f=f$, jsou oba prvky e a f levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, (A,$\otimes$) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny A je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině A levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak $l=l\otimes r=r$. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.

Související články

• Inverzní prvek
• Grupa
• Monoid