Riemannův prostor

Riemannovým (riemannovským) prostorem je nazýván prostor s $n$ souřadnicemi $x_{i}$, v němž je vzdálenost mezi dvěma sousedními body určena vztahem

$\mathrm {d} s^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x)\mathrm {d} x_{i}\mathrm {d} x_{j}$,

kde $g_{ij}(x)$ jsou funkce $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Metrika zadaná uvedeným vztahem se označuje jako riemannovská metrika, je-li pozitivně definitní. V opačném případě se hovoří o pseudoriemannovské metrice.

Příklad

Např. v euklidovské geometrii je (v kartézských souřadnicích) vzdálenost mezi dvěma body roviny určena vztahem ve tvaru

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}$

Zobecnění pro libovolnou 2-rozměrnou plochu má tvar

$\mathrm {d} s^{2}=A\mathrm {d} x^{2}+B\mathrm {d} x\mathrm {d} y+C\mathrm {d} y^{2}$,

kde $A,B,C$ jsou jsou veličiny závislé na $x$ a $y$. Prostřednictvím těchto veličin jsou určeny některé vlastnosti plochy, např. její křivost.

Podobným postupem došel Riemann při studiu metrických prostorů libovolné dimenze k Riemannovu prostoru.

Vlastnosti

• Funkce $g_{ij}$ tvoří tzv. metrický tenzor.
• Riemannovy prostory mohou být zakřivené, přičemž struktura zakřivení je obsažena v Riemannově tenzoru křivosti.
• Riemannův prostor je metrickým prostorem.

Související články

• Riemannova geometrie
• Metrický tenzor