Norma (matematika)

Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Definice

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

• pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
• subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

• p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

Příklady

• Každá norma je seminorma.
• Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
• Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.

Eukleidovská norma

Na prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x₁, x₂, ..., x_n) jako

$\|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

p-norma

Nechť p > 1 je reálné číslo.

$\|{\textbf {x}}\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

Maximová norma

$\|{\textbf {x}}\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).$

Norma na prostoru se skalárním součinem

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu

$\|x\|:={\sqrt {(x,x)}}.$

Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

$|(x,y)|\leq \|x\|\,\|y\|.$

Vlastnosti

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||_α and ||•||_β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že

$C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }$

pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||₁, ||•||₂ a ||•||_∞ jsou ekvivalentní na prostoru $\mathbb {R} ^{n}$:

$\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2},$

$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty },$

$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty }.$

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μ_C známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

$\mu _{C}(x):=\inf\{\alpha :\alpha >0,x\in \alpha C\}.$

Pro tuto seminormu platí

$\{x:\mu _{C}(x)<1\}\subseteq C\subseteq \{x:\mu _{C}(x)\leq 1\}.$

Související články

• Normovaný vektorový prostor
• Metrický prostor
• Euklidovský prostor