Neutrální prvek: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 7. 5. 2005, 19:21

V matematice je neutrální prvek množiny S s binární operací takový prvek, který nechává ostatní prvky na místě.

Formální definice

Buď S množina a * operace na S. Pak prvek e z S se nazývá levý neutrální, platí -li e * a = a pro všechny a z S. Prvek e se nazývá pravý neutrální, platí-li a * e = a pro všechna a z S. Pokud je e pravý i levý neutrální, nazývá se jednoduše neutrální, někdy též identita.

Příklady

Pokud (S,*) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrální prvek.
Pokud (S,*) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
Pokud (S,*) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
Pokud (S,*) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
Pokud (S,*) je množina všech zobrazení z množiny M do sebe sama a * je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná id(x) = x pro každé x z M.
Pokud má S pouze dva prvky e a f a operace * je definována tak, že e * e = f * e = e a f * f = e * f = f, jsou oba prvky e a f levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, (S,*) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině S levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak l = l * r = r. Především tedy v množině může být jen jeden neutrální prvek.

Podívejte se též na

@@ Řádek 6: / Řádek 6: @@
 == Příklady ==
+*Pokud (''S'',*) jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrální prvek.
-Například pokud (''S'',*) jsou [[reálné číslo|relná čísla]] se sčítáním, je číslo ''0'' neutrální prvek. Pokud (''S'',*) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo ''1''. Pokud (''S'',*) jsou ''n''-rozměrné čtvercové [[matice]] se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice. Pokud (''S'',*) jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]]. Pokud (''S'',*) je [[množina]] všech [[zobrazení]] z množiny ''M'' do sebe sama a * je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná ''id(x)'' = ''x'' pro každé ''x'' z ''M''. Pokud má ''S'' pouze dva prvky ''e'' a ''f'' a operace *  je definována tak, že ''e''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;= ''f''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''e'' a ''f''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;= ''e''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;=&nbsp;''f'', jsou oba prvky ''e'' a ''f'' levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
+*Pokud (''S'',*) jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
+*Pokud (''S'',*) jsou ''n''-rozměrné čtvercové [[matice]] se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
+*Pokud (''S'',*) jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
+*Pokud (''S'',*) je [[množina]] všech [[zobrazení]] z množiny ''M'' do sebe sama a * je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná ''id(x)'' = ''x'' pro každé ''x'' z ''M''.
+*Pokud má ''S'' pouze dva prvky ''e'' a ''f'' a operace *  je definována tak, že ''e''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;= ''f''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''e'' a ''f''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;= ''e''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;=&nbsp;''f'', jsou oba prvky ''e'' a ''f'' levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
-Jak ukazuje poslední příklad, (''S'',*) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině ''S'' levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudéž jeden takový. Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak ''l''&nbsp;=&nbsp;''l''&nbsp;*&nbsp;''r''&nbsp;=&nbsp;''r''. Především tedy v množině může být jen jeden neutrální prvek.
+Jak ukazuje poslední příklad, (''S'',*) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině ''S'' levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak ''l''&nbsp;=&nbsp;''l''&nbsp;*&nbsp;''r''&nbsp;=&nbsp;''r''. Především tedy v množině může být jen jeden neutrální prvek.
 ==Podívejte se též na==