Opačná kategorie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V teorii kategorií, oboru matematiky, je opačná kategorie či duální kategorie dané kategorie utvořena obrácením morfismů, tj. výměnou zdroje a cíle každého morfismu. Dvojnásobná výměna dává původní kategorii, takže opak opačné kategorie je původní kategorie. Symbolicky:

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Příkladem je obrácení směru nerovností v částečném uspořádání. Tedy pokud X je množina a ≤ relace částečného uspořádání, můžeme definovat nový vztah částečného uspořádání ≤op jako
xop y, právě když yx.
Toto nové uspořádání se běžně nazývá duální uspořádání k ≤ a je většinou značeno symboly jako například ≥. Proto hraje dualita důležitou roli v teorii uspořádání a každý koncept z teorie uspořádání má koncept duální. Například existují opačné dvojice dítě/rodič, potomek/předek, infimum/supremum, dolní množina/horní množina, ideál/filtr apod. Tyto duality v teorii uspořádání jsou zase zvláštními případy konstrukce opačných kategorií, protože každou uspořádanou množinu lze chápat jako kategorii.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Opak zachovává součiny:

(viz součinová kategorie)

Opak zachovává funktory:

(viz kategorie funktorů, opačný funktor) [2] [3]

Opak zachovává řezy:

(viz čárková kategorie)

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Opposite category na anglické Wikipedii.

  1. Is there an introduction to probability theory from a structuralist/categorical perspective? [online]. MathOverflow [cit. 2010-10-25]. Dostupné online. (anglicky) 
  2. H. Herrlich, G. E. Strecker, Category Theory, 3rd Edition, Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6, p. 99.
  3. O. Wyler, Přednášky k tématům Topoi a Quasitopoi , World Scientific, 1991, str. 8.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. Second. vyd. New York, NY: Springer New York, 1978. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 S. 33. (anglicky) 
  • AWODEY, Steve. Category theory. 2nd. vyd. Oxford: Oxford University Press, 2010. ISBN 0199237182. OCLC 740446073 S. 53-55. (anglicky) 

Související články[editovat | editovat zdroj]