Kritéria konvergence řad

Kritéria konvergence jsou v matematice metody testování konvergence, podmíněné konvergence, absolutní konvergence, intervalové konvergence nebo divergence nekonečných řad $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Kritéria konvergence

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady $s\,$ jejím $n\,$-tým částečným součtem $s_{n}\,$. U konvergentních řad se chyba $|s_{n}-s|\,$, které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím $n\,$ zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy $\sum a_{n},\sum b_{n}$, přičemž pro všechna $n\,$ platí $0\leq a_{n}\leq b_{n}\,$. Řadu $\sum a_{n}$ označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě $\sum b_{n}$ a řadu $\sum b_{n}$ jako majorantní řadu (majorantu) k řadě $\sum a_{n}$. Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. $\sum b_{n}$, konverguje také minoranta, tedy $\sum a_{n}$. Diverguje-li minoranta $\sum a_{n}$, diverguje také majoranta, tedy $\sum b_{n}$.

Podílové kritérium

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ tehdy, existuje-li reálné číslo $0<q<1$ takové, že pro každé $n$ platí ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq q$. Pokud je ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1$, pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ veličinu $L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$, pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada $\sum a_{n}$ konvergentní pro $L<1\,$, divergentní pro $L>1\,$ a pro $L=1\,$ může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ konverguje, pokud existuje reálné číslo $0\leq q<1$ a pro každé $n$ platí ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq q$. Pro případ ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$ řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium

Podrobnější informace naleznete v článku Cauchyovo limitní odmocninové kritérium.

Pokud pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ zavedeme $K=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}$, pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro $K<1\,$, divergentní pro $K>1\,$ a pro $K=1\,$ může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ konvergentní tehdy, pokud existuje takové $r\in \mathbb {R} ,r>1$ a takové přirozené číslo $n_{0}\in \mathbb {N}$, že pro všechna $n\geq n_{0}$ platí $n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\geq r>1$.

Jestliže existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že pro všechna $n\geq n_{0}$ platí $n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\leq 1$, pak řada $\sum a_{n}$ diverguje.

Limitní Raabeovo kritérium

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Jestliže pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ zavedeme $M=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)$, pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro $M>1\,$, diverguje pro $M<1\,$ a pro $M=1\,$ může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium

Nechť $\sum a_{n}$ je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako $a_{n}=f(n)\,$. Pokud ve funkci $f(n)\,$ nahradíme diskrétní proměnnou $n\,$ spojitou proměnnou $x\,$, přičemž $f(x)\,$ bude spojitou a klesající funkcí na intervalu $\langle 1,+\infty )$, pak podle tzv. integrálního kritéria je řada $\sum a_{n}$ konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál $\int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$. Pokud integrál $\int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$ diverguje, pak diverguje také řada $\sum a_{n}$.

Leibnizovo kritérium

Pro alternující řady, které zapíšeme jako $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}a_{n}$, kde $a_{n}\geq 0\,$, lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje $n_{0}$ takové, že $a_{n_{0}}>a_{n_{0}+1}>a_{n_{0}+2}>...\,$ (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

Gaussovo kritérium

Nechť $(a_{n})\,$ je kladná posloupnost, pro niž existují $q,\alpha \in \mathbb {R}$, kladné $\varepsilon$ a omezená posloupnost $(c_{n})\,$ taková, že pro všechny $n\in \mathbb {N}$ platí:

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q-{\frac {\alpha }{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{1+\varepsilon }}}$

• Když $q<1\,$ nebo když $q=1\,$ a $\alpha >1\,$, pak řada $\sum a_{n}$ konverguje.
• Když $q>1\,$ nebo když $q=1\,$ a $\alpha \leq 1$, pak řada $\sum a_{n}$ diverguje.

Dirichletovo kritérium

Nechť $(a_{n})\,$ je reálná posloupnost a $(b_{n})\,$ komplexní posloupnost, pro které platí:

• $(a_{n})\,$ je od jistého indexu monotonní a $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$;
• $(b_{n})\,$ má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada $\sum a_{n}b_{n}$ konverguje.

Abelovo kritérium

Nechť $(a_{n})\,$ je reálná posloupnost a $(b_{n})\,$ komplexní posloupnost, pro které platí:

• $(a_{n})\,$ je monotonní a omezená;
• $\sum b_{n}$ je konvergentní řada.

Pak řada $\sum a_{n}b_{n}$ konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Příklady

Uvažujme řadu

$(*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

Z Cauchyova kondenzačního testu vyplývá, že (*) je konečně konvergentní, jestliže

$(**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

je konečně konvergentní. Protože

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(**) je geometrická řada s kvocientem $2^{(1-\alpha )}$. (**) je konečně konvergentní, jestliže její kvocient je menší než jedna (jmenovitě $\alpha >1$). Tedy (*) je konečně konvergentní právě tehdy, když $\alpha >1$.

Konvergence součinů

Většina testů sice zkoumá konvergenci nekonečných řad, ale mohou být také použity pro zjištění konvergence nebo divergence nekonečných součinů. Toho lze dosáhnout použitím následující věty: Nechť $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ je posloupnost kladných čísel. Pak nekonečný součin $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ konverguje právě tehdy, když konverguje řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$. Dále obdobně, jestliže $0<a_{n}<1$ platí, pak $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ se blíží nenulové limitě právě tehdy, když konverguje řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Tvrzení lze dokázat aplikací funkce logaritmus na součin a použitím věty o porovnání limit.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Convergence tests na anglické Wikipedii.

Související články

• L'Hospitalovo pravidlo
• Přesunové pravidlo

Literatura

• LEITHOLD, Louis. The Calculus, with Analytic Geometry. 2. vyd. New York: Harper & Row, 1972. Dostupné online. ISBN 0-06-043959-9. S. 655–737. 

Externí odkazy

• Flowchart pro výběr kritérium konvergence Archivováno 8. 8. 2010 na Wayback Machine.