Kleinova–Gordonova rovnice

Kleinova–Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové mechaniky. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.

\left(\square -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\right)\psi =0

Zde $m$ je klidová hmotnost částice, $c$ je rychlost světla ve vakuu, $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta, $\psi$ je vlnová funkce a $\square$ je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.

\square =\Delta -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}

( $\Delta =\nabla \cdot \nabla$ je Laplaceův operátor, $\nabla$ je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)

Motivace

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

{\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}={{\hat {\mathbf {p} }}^{2} \over 2m}+V

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii $T=m\mathbf {v} ^{2}/2=\mathbf {p} ^{2}/\left(2m\right)$ , který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Odvození

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

E^{2}=c^{2}\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{4}\,,

kde $m$ je klidová hmotnost částice, $\mathbf {p}$ je vektor hybnosti a $c$ je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu–Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

{\hat {E}}=i\hbar {\partial  \over \partial t}

{\hat {p}}=-i\hbar \nabla

(Konstanta $i$ je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

-\hbar ^{2}{\partial ^{2}\psi  \over \partial t^{2}}=-\hbar ^{2}c^{2}\Delta \psi +m^{2}c^{4}\psi \,.

Rovnici vydělíme $\hbar ^{2}c^{2}$ , odečteme pravou stranu a získáme

\Delta \psi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\psi  \over \partial t^{2}}-{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0\,,

kde je na levé straně již vidět působení operátoru $\square$ na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu–Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta $\left(mc/\hbar \right)^{2}$ , kde $m$ je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je ${\hat {p_{x}}}=-i\hbar \left(\partial /\partial x\right)$ a Kleinova–Gordonova rovnice přejde na tvar

{\partial ^{2}\psi  \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\psi  \over \partial t^{2}}={m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi \,.

Problémy

Kleinova–Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci $\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)$ v okamžiku $t=t_{0}$ , ale zároveň i její derivaci $\partial \psi /\partial t$ . V důsledku z toho také plyne, že veličina

\rho ={i\hbar  \over 2mc^{2}}\left(\psi ^{*}{\partial \psi  \over \partial t}-\psi {\partial \psi ^{*} \over \partial t}\right)\,,

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy–Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

Související články

Externí odkazy

Kleinova–Gordonova rovnice v encyklopedii MathWorld (anglicky)