Hookův zákon

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(Přesměrováno z Hookeův zákon)
Skočit na: Navigace, Hledání

Hookův zákon (též Hookeův zákon) popisuje pružnou deformaci materiálu působením síly, za předpokladu malých sil a malých deformací, které po odlehčení zmizí. Lze jej formulovat např. ve tvaru:

Deformace je přímo úměrná napětí materiálu.

Hookův zákon v tomto tvaru bývá také označován jako elementární Hookův zákon.

Hookův zákon je pojmenován po britském fyzikovi Robertu Hookovi, který tento zákon poprvé zapsal roku 1676. Později ho formuloval latinsky jako

Ut tensio, sic vis.

.

Tah a tlak[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Hookův zákon pro tah.

Hookeův zákon pro tah a tlak lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

\varepsilon = \frac{\sigma}{E},

kde \varepsilon=\frac{\Delta l}{l} je poměrné délkové prodloužení (přičemž l označuje délku vzorku), E je modul pružnosti v tahu (Youngův modul), \sigma je mechanické napětí.

Lze se také setkat se zápisem F= -kx , kde F je působící síla, k konstanta pružnosti materiálu a x prodloužení materiálu.

Smyk[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Hookův zákon pro smyk.

Hookeův zákon pro smyk lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

\gamma = \frac{\tau}{G},

kde \gamma je úhel smyku, \tau je tečné napětí a G je modul pružnosti ve smyku.

Obecný tvar Hookova zákona[editovat | editovat zdroj]

Lineární vztah mezi napětím a deformací, známý z elementárního Hookova zákona pro tah nebo smyk, lze (s použitím Einsteinova sumačního pravidla) zobecnit na lineární vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem deformací

\sigma_{ij} = C_{ijkl}e_{kl},

kde \sigma_{ij} jsou složky tenzoru napětí, e_{kl} jsou složky tenzoru malých deformací a koeficienty C_{ijkl} vystihují vlastnosti látky (bývají označovány jako elastické koeficienty). Uvedený vztah představuje obecný tvar Hookova zákona.

Koeficienty C_{ijkl} jsou složkami tenzoru čtvrtého řádu. Počet nezávislých složek tenzoru C_{ijkl} se v důsledku symetrie tenzorů \sigma_{ij} a e_{kl} snižuje na 21. Takový počet elastických koeficientů je nutný pro popis chování krystalů trojklonné soustavy, tedy soustavy s nejmenší symetrií. Pro popis krystalových soustav s vyšší symetrií postačuje menší počet elastických koeficientů.

Zobecněný Hookův zákon[editovat | editovat zdroj]

K popisu izotropního tělesa postačují dva nezávislé elastické koeficienty. Pro teoretické výpočty jsou voleny tzv. Laméovy (elastické) koeficienty \lambda a \mu, pro praktické účely jsou spíše užívány Youngův modul (modul pružnosti v tahu) E a modul pružnosti ve smyku G. Modul pružnosti ve smyku G je totožný s Laméovým koeficientem \mu. Pomocí Laméových koeficientů získá obecné vyjádření Hookeova zákona pro izotropní těleso tvar

\sigma_{ij} = \lambda\delta_{ij}e_I + 2\mu e_{ij},

kde e_I je stopa tenzoru malých deformací a \delta_{ij} je Kroneckerovo delta. Tato rovnice, která je platná pro izotropní látku, se označuje jako zobecněný Hookův zákon.


Jsou-li elastické vlastnosti látky popsány moduly E a G, lze zobecněný Hookův zákon vyjádřit jako

\sigma_{ij} = \frac{G(E-2G)}{3G-E}\delta_{ij}e_I + 2Ge_{ij}


Označíme-li stopu tenzoru napětí jako \sigma_I, pak platí

\sigma_I = (3\lambda+2\mu)e_I

Po dosazení do předchozíchg vztahů získáme vyjádření závislosti e_{ij} na \sigma_{ij}, tzn.

e_{ij} = -\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\delta_{ij}\sigma_I + \frac{1}{2\mu}\sigma_{ij}

popř.

e_{ij} = \frac{2G-E}{2GE}\delta_{ij}\sigma_I + \frac{1}{2G}\sigma_{ij}

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]