Hookův zákon

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Hookův zákon – Deformace je přímo úměrná napětí materiálu.
Robert Hooke

Hookův zákon (též Hookeův zákon) popisuje pružnou deformaci materiálu působením síly, za předpokladu malých sil a malých deformací, které po odlehčení zmizí. Lze jej formulovat např. ve tvaru:

Deformace je přímo úměrná napětí materiálu.

Hookův zákon v tomto tvaru bývá také označován jako elementární Hookův zákon.

Hookův zákon je pojmenován po britském fyzikovi Robertu Hookovi, který tento zákon poprvé zapsal jako latinský anagram Ceiiinosssttuv. Roku 1676 ho formuloval latinsky jako:

Ut tensio, sic vis.

Tah a tlak[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Hookův zákon pro tah.

Hookeův zákon pro tah a tlak lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

,

kde je poměrné délkové prodloužení (přičemž označuje délku vzorku), je modul pružnosti v tahu (Youngův modul), je mechanické napětí.

Lze se také setkat se zápisem , kde je působící síla, konstanta pružnosti materiálu a prodloužení materiálu.

Smyk[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Hookův zákon pro smyk.

Hookeův zákon pro smyk lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru

,

kde je úhel smyku, je tečné napětí a je modul pružnosti ve smyku.

Obecný tvar Hookova zákona[editovat | editovat zdroj]

Lineární vztah mezi napětím a deformací, známý z elementárního Hookova zákona pro tah nebo smyk, lze (s použitím Einsteinova sumačního pravidla) zobecnit na lineární vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem deformací

,

kde jsou složky tenzoru napětí, jsou složky tenzoru malých deformací a koeficienty vystihují vlastnosti látky (bývají označovány jako elastické koeficienty). Uvedený vztah představuje obecný tvar Hookova zákona.

Koeficienty jsou složkami tenzoru čtvrtého řádu. Počet nezávislých složek tenzoru se v důsledku symetrie tenzorů a snižuje na 21. Takový počet elastických koeficientů je nutný pro popis chování krystalů trojklonné soustavy, tedy soustavy s nejmenší symetrií. Pro popis krystalových soustav s vyšší symetrií postačuje menší počet elastických koeficientů.

Zobecněný Hookův zákon[editovat | editovat zdroj]

K popisu izotropního tělesa postačují dva nezávislé elastické koeficienty. Pro teoretické výpočty jsou voleny tzv. Laméovy (elastické) koeficienty a , pro praktické účely jsou spíše užívány Youngův modul (modul pružnosti v tahu) a modul pružnosti ve smyku . Modul pružnosti ve smyku je totožný s Laméovým koeficientem . Pomocí Laméových koeficientů získá obecné vyjádření Hookeova zákona pro izotropní těleso tvar

,

kde je stopa tenzoru malých deformací a je Kroneckerovo delta. Tato rovnice, která je platná pro izotropní látku, se označuje jako zobecněný Hookův zákon.

Jsou-li elastické vlastnosti látky popsány moduly a , lze zobecněný Hookův zákon vyjádřit jako

Označíme-li stopu tenzoru napětí jako , pak platí

Po dosazení do předchozích vztahů získáme vyjádření závislosti na , tzn.

popř.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]