Dedekindův řez
Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel. Pojem je pojmenován po německém matematikovi Richardu Dedekindovi, jako první však reálná čísla s pomocí této konstrukce definoval francouzský matematik Joseph Bertrand v roce 1849.[1]
Definice
[editovat | editovat zdroj]Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.
Motivace
[editovat | editovat zdroj]V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny – každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám o daném číselném oboru.
Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina" .
Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice celých čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.
Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu – to znamená, aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.
Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté MacNeilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům – lze ji použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.
Konstrukce zúplnění
[editovat | editovat zdroj]Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.
Množina všech stabilních podmnožin nějaké množiny je úplný svaz. To znamená, že je uzavřen na suprema a infima – je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc, pokud je lineárně uspořádaná, pak je také lineárně uspořádaná (relací ).
Definujeme-li zobrazení předpisem , dostáváme izomorfní vnoření do . Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v . Pokud v neexistovala, pak v již (pro izomorfní obraz) existují.
Speciálně pro racionální čísla je izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.
Příklady
[editovat | editovat zdroj]Množina má supremum v - platí . Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu a její supremum je . Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.
![{\displaystyle S_{1}=\{f(x)\in S_{Q}:f(x)<f(1)\}=\{(-\infty ,x]:x<1\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978e96794b14cbcb56f92eaa4f889b0f4c8bdd1e)
![{\displaystyle (-\infty ,1]=f(1)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c35e6820febd05c2751aaf93742b4320ea23e3)
Množina nemá v supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v získá: má supremum , které není obrazem žádného prvku z .
![{\displaystyle supS_{2}=(-\infty ,{\sqrt {2}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a02b2b5f2b77181e92b0e71b292feb312fb9555)
Vysvětlení pro laiky
[editovat | editovat zdroj]Jednoduše řečeno je Dedekindův řez zákonitost, která říká, že když „řízneme“ do číselné osy v náhodném místě, získáme nějaké číslo, které se v tom místě nachází. Neplatí tedy u všech číselných oborů.
Odkazy
[editovat | editovat zdroj]Reference
[editovat | editovat zdroj]V tomto článku byl použit překlad textu z článku Joseph Bertrand na anglické Wikipedii.
- ↑ SPALT, Detlef D. Eine kurze Geschichte der Analysis. SpringerLink. 2019. Dostupné online [cit. 2023-11-20]. DOI 10.1007/978-3-662-57816-2. (německy)
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]- Dedekindův řez v encyklopedii MathWorld (anglicky)