Dedekindův řez

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.

Motivace[editovat | editovat zdroj]

V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny - každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.

Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina"  \subseteq \,\! .
Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice celých čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.

Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu - to znamená aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.

Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté MacNeilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze jí použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.

Konstrukce zúplnění[editovat | editovat zdroj]

Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.

Množina všech  S_A \,\! všech stabilních podmnožin nějaké množiny  A \,\! je úplný svaz, to znamená, že je uzavřen na suprema a infima - je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc pokud je  A \,\! lineárně uspořádaná, pak je také  S_A \,\! lineárně uspořádaná (relací  \subseteq \,\! ).

Definujeme-li zobrazení  f: A \implies S_A \,\! předpisem  f(x) = \{ y \isin A : y \leq x \} \,\! , dostáváme izomorfní vnoření  A \,\! do  S_A \,\! .
Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v  A \,\! , ale pokud v  A \,\! neexistovala, pak v  S_A \,\! již (pro izomorfní obraz) existují.

Speciálně pro racionální čísla  Q \,\! je  S_Q \,\! izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Množina  A_1 = \{ x \isin Q : x < 1 \} \,\! má supremum v  Q \,\! - platí  sup A_1 = 1 \,\! .
Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu
 S_1 = \{ f(x) \isin S_Q : f(x) < f(1) \} = \{ (-\infty,x] : x < 1 \} \,\! a její supremum je  (-\infty,1] = f(1) \,\! . Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.

Množina  A_2 = \{ x \isin Q : x^2 < 2 \} \,\! nemá v  Q \,\! supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v  S_Q \,\! získá:
 S_2 = \{ f(x) \isin S_Q : f(x^2) < f(2) \} \,\! má supremum  sup S_2 = (-\infty,\sqrt{2}] \,\! , které není obrazem žádného prvku z  Q \,\! .

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]