Čebyševova nerovnost

Čebyševovy nerovnosti se využívají v teorii pravděpodobnosti k důkazu centrálních limitních vět a zákona velkých čísel.

Čebyševova nerovnost I. typu

Čebyševovou nerovností I. typu označujeme tvrzení, že pro libovolnou nezápornou náhodnou veličinu $X\,\!$ se střední hodnotou $\operatorname {E} (X)\,\!$ je pravděpodobnost, že veličina $X\,\!$ nabude alespoň hodnoty $\varepsilon \,\!$ dána podmínkou

$P(X\geq \varepsilon )\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{\varepsilon }}\,\!$

pro všechna $\varepsilon >0\,\!$. (Tato nerovnost se někdy v literatuře označuje jako Markovova.)

Čebyševova nerovnost II. typu

Pro libovolnou náhodnou veličinu $X\,\!$ se střední hodnotou $\operatorname {E} (X)\,\!$ a rozptylem $D(X)\,\!$ je pravděpodobnost, že absolutní hodnota $|X-\operatorname {E} (X)|\,\!$ nabude hodnoty menší než libovolné $\varepsilon >0\,\!$ omezena Čebyševovou nerovností II. typu

$P(|X-\operatorname {E} (X)|<\varepsilon )\geq 1-{\frac {D(X)}{\varepsilon ^{2}}}\,\!$

nebo také

$P(|X-\operatorname {E} (X)|<\varepsilon \cdot \sigma )\geq 1-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\,\!$

kde $\sigma ={\sqrt {D(X)}}$

Odkazy

Související články

• Zákon velkých čísel
• Hoeffdingova nerovnost
• Centrální limitní věta
• Čebyševova nerovnost pro konečné součty

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Čebyševova nerovnost na Wikimedia Commons

Autoritní data	LNB: 000327250

Portály: Matematika