Čebyševova nerovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Čebyševovy nerovnosti se využívají v teorii pravděpodobnosti k důkazu centrálních limitních vět a zákona velkých čísel.

Čebyševova nerovnost I.typu[editovat | editovat zdroj]

Čebyševovou nerovností I. typu označujeme tvrzení, že pro libovolnou nezápornou náhodnou veličinu X\,\! se střední hodnotou \operatorname{E}(X)\,\! je pravděpodobnost, že veličina X\,\! nabude alespoň hodnoty \varepsilon\,\! dána podmínkou

P(X\geq\varepsilon)\leq \frac{\operatorname{E}(X)}{\varepsilon}\,\!

pro všechna \varepsilon>0\,\!. (Tato nerovnost se někdy v literatuře označuje jako Markovova.)

Čebyševova nerovnost II.typu[editovat | editovat zdroj]

Pro libovolnou náhodnou veličinu X\,\! se střední hodnotou \operatorname{E}(X)\,\! a rozptylem D(X)\,\! je pravděpodobnost, že absolutní hodnota |X-\operatorname{E}(X)|\,\! nabude hodnoty menší než libovolné \varepsilon>0\,\! omezena Čebyševovou nerovností II. typu

P(|X-\operatorname{E}(X)|<\varepsilon)\geq 1-\frac{D(X)}{\varepsilon^2}\,\!
nebo také
P(|X-\operatorname{E}(X)|<\varepsilon\cdot\sigma)\geq 1-\frac{1}{\varepsilon^2}\,\!
kde \sigma = \sqrt{D(X)}

Související články[editovat | editovat zdroj]