Zobecněná Stokesova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Zobecněná Stokesova věta je v diferenciální geometrii tvrzení o integraci diferenciálních forem, které zobecňuje a zahrnuje několik vět vektorového počtu. Je pojmenovaná po George Gabriel Stokesovi, ačkoliv poprvé tuto větu pravděpodobně zformuloval William Thomson.

Obsah

[editovat] Znění věty

Buď M regulární plocha dimenze k vložená do n-rozměrného euklidovského prostoru a buď ω k−1 rozměrná diferenciální forma na M. Označíme-li ∂M hranici M s příslušnou orientací, pak platí

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.\!\,

kde d je vnější derivace.

Obecněji lze větu formulovat pro M jako hladkou varietu vloženou do variety vyšší dimenze, na níž je forma ω definována.

  • pro n=2, k=2 přechází Zobecněná Stokesova věta na Greenovu větu,
  • pro n=3, k=1 přechází Zobecněná Stokesova věta na Větu o potenciálu pro třírozměrný křivkový integrál 2. druhu,
  • pro n=3, k=2 přechází Zobecněná Stokesova věta na Stokesovu větu,
  • pro n=3, k=3 přechází Zobecněná Stokesova věta na klasickou Gaussovu větu.

[editovat] Odvození jednotlivých integrálních vět ze Zobecněné Stokesovy věty

[editovat] Gaussova věta

Uvažujeme-li klasickou Gaussovu větu ve trojrozměrném Euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole, tedy

\oint_{\partial M} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{\partial M} A_x(x,y,z) \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z + A_y(x,y,z) \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+ A_z(x,y,z) \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - ten je snadné zjistit, uvědomíme-li si, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý. ^ je vnější násobení forem. Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice určíme cyklickou záměnou, abychom nezměnili orientaci formy (povšimněme si, že pokud bychom za plošku kolmou k (1,0,0) zvolili naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky určíme cyklickou záměnou, výsledek bude stejný.)

Nyní aplikujeme větu - tedy musíme zderivovat integrovanou formu. V členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá jedna, konkrétně tedy

=\int_{M} \mathrm{d}\left(A_x(x,y,z) \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z + A_y(x,y,z) \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+ A_z(x,y,z) \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\right) =
\int_{M} \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x} \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z} \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z=
\int_{M} \left(\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z} \right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z =

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, můžeme aplikovat tzv. hustotní duál a převést integrál z formy na běžný integrál přes objem.

=\int_{M} \left({\nabla\cdot\mathbf{A}}\right)\,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \int_V ({\nabla\cdot\mathbf{A}}) \mathrm{d}V.

Je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

[editovat] Stokesova věta

Zcela obdobným postupem dospějeme ke znění Stokesovy věty.

\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \oint_{\partial \Sigma} A_x(x,y,z) \mathrm{d}x+A_y(x,y,z) \mathrm{d}y+A_z(x,y,z) \mathrm{d}z=

Aplikujeme větu

=\int_\Sigma \mathrm{d}\left(A_x(x,y,z) \mathrm{d}x+A_y(x,y,z) \mathrm{d}y+A_z(x,y,z) \mathrm{d}z\right)=

Provedeme vnější derivaci na jednotlivých formách

=\int_\Sigma \left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial y} \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+ \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial z} \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z+ \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial x} \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x+\right. \left. + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial z} \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial x} \mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y} \mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}y\right) =

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbíráme integrál podle jednotlivých 2-forem

=\int_\Sigma \left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial y}- \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial x} \right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y++ \left( \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial z}- \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y} \right)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+ \left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial z} - \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial x} \right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z =

A povšimneme-si, že (máme-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů) jde o Stokesovu větu

=\int_\Sigma \left({\nabla\times\mathbf{A}}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}
Integrální věty vektorového počtu
Greenova věta • Gaussova věta • Stokesova věta • Zobecněná Stokesova věta
Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Zobecn%C4%9Bn%C3%A1_Stokesova_v%C4%9Bta“