Weierstrassova funkce

Weierstrassova funkce s konstantami $a=0,5$; $b=3$.

Ukázka soběpodobnosti.

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi, je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci.

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

• Podle původní publikace (http://historical.library.cornell.edu/…), en:Weierstrass function a http://planetmath.org/…:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$

kde $0<a<1$, $b$ je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.

$ab > 1+\frac{3}{2} \pi$

Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou $ab \ge 1$.

• Podle http://mathworld.wolfram.com/…:

Riemannova funkce, $a=2$.

$f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,$

přičemž údajně podle původní publikace $a = 2$. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.

• Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.

Související články

• Rozumná funkce
• Riemannova funkce