Riemannova funkce

Riemannova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom je spojitá právě v iracionálních bodech.

Definice a graf

Náznak grafu Riemannovy funkce. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Riemannova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Riemannova funkce $R(x)$ je definována následujícím předpisem:

$R(x):=\begin{cases} 0,& \mbox{pokud}\ x\ \mbox{je iracionální číslo} \\ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle q},&\mbox{pokud}\ x=\frac{\displaystyle p}{\displaystyle q},\ \mbox{kde}\ p,q\ \mbox{jsou nesoudělná.} \end{cases}$

Vlastnosti

Riemannova funkce má následující vlastnosti:

• Není spojitá v žádném racionálním bodě.
• Je spojitá v každém iracionálním bodě.
• Pro každé reálné číslo $a$ platí $\lim_{x\rightarrow a}R(x)=0$.
• Není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě.
• Nabývá ostrého lokálního maxima v každém racionálním bodě a neostrého globálního minima v každém iracionálním bodě.
• Lebesgueův integrál přes celý definiční obor je roven 0, její Newtonův integrál neexistuje.

Související články

• Bernhard Riemann
• Dirichletova funkce
• Peanova křivka
• Weierstrassova funkce