Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

V numerické matematice je numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic postup, kterým můžeme získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Používá se v případech, kdy by bylo nalezení přesného (analytického) řešení náročné nebo v případech, kdy analytické řešení nelze najít.

Diferenciální rovnice a její počáteční podmínky bývají často uváděny v tomto tvaru:

$y'(t)$	$= f(t,y)$
$y(t_0)$	$= y_0$

Metody řešení

Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích $\Delta t$:

$y(t+\Delta t) = y(t) + D(t,y) \Delta t$

$D(t,y)$ je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat $y'(t)$ tak, aby $y(t+\Delta t)$ bylo co nejpřesnější.

Eulerova metoda

(Více viz Eulerova metoda)

Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednodušší je Eulerova metoda:

$D(t,y) = f(t,y)$

Metody Runge-Kutta

Obecně lze metody Runge-Kutta zapsat následovně:

$y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^{p} w_i k_i$

$k_i = f(t + \alpha_i h, \, y_n + h \sum_{j=1}^{i-1} \beta_{ij} k_j)$

Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu $p$ odpovídala Taylorovu polynomu funkce $y(t)$ stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)

Často se používá 4 bodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.

$k_1 = f \left( t_n, y_n \right)$

$k_2 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_1 \right)$

$k_3 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_2 \right)$

$k_4 = f \left( t_n + h, y_n + hk_3 \right)$

$y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

(Korespondence různých způsobů zápisu: $h = \Delta t$; $t_n = n \Delta t$; $y_n = y(t_n)$; $D(t,y) = (k_1+2k_2+2k_3+k_4)/6$. Korespondence s obecným vzorcem: $k_1 = k_4 = 1/6$; $k_2 = k_3 = 1/3$; $\alpha_1 = \beta_{31} = \beta_{41} = \beta_{42} = 0$; $\alpha_2 = \alpha_3 = \beta_{21} = \beta_{32} = 1/2$; $\alpha_4 = \beta_{43} = 1$.)

Vícekrokové metody

U vícekrokových metod je hodnota $y_{n+1}$ vypočtena z předchozích hodnot $y_{n-i}$ (respektive $f_{n-i}$, $i = 0 ... k$) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)

Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:

$y_{n+1} = \sum_{i=0}^{r} \alpha_i y_{n-i} + h \sum_{j=-1}^{s} \beta_j f_{n-j}$

Explicitní metody

Pokud je $\beta_{-1} = 0$, lze hodnotu $y_{n+1}$ určit z $r+1$ předchozích hodnot $y_n$ (respektive z $s+1$ předchozích hodnot $f_n$) a jedná se o metodu explicitní.

Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:

$y_{n+1} = y_n + h\left( {3\over 2} f(t_n, y_n) - {1 \over 2} f(t_{n-1}, y_{n-1})\right)$

(Korespondence s obecným vzorcem: $r = 0$; $\alpha_0 = 1$; $s = 1$; $\beta_{-1} = 0$; $\beta_0 = 3/2$; $\beta_1 = -1/2$.)

Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:

$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} \left( 55 f_n - 59 f_{n-1} + 37 f_{n-2} - 9 f_{n-3} \right)$

Implicitní metody

Pokud je $\beta_{-1}$ různé od nuly, je pro výpočet $y_{n+1}$ nutná znalost $f_{n+1}$ a jedná se o metodu implicitní.

Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:

$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} \left( 9 f_{n+1} + 19 f_n - 5 f_{n-1} + f_{n-2} \right)$

Metody prediktor-korektor

Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového $y_{n+1}$. V tomto bodě je vypočtena derivace $f_{n+1}$, která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace $y_{n+1}$.

Související články

• en:Runge–Kutta methods, de:Runge-Kutta-Verfahren, de:Einschrittverfahren
• en:Multistep method, de:Mehrschrittverfahren