Navierova-Stokesova rovnice

Navierova-Stokesova rovnice je rovnice popisující proudění nestlačitelné Newtonské tekutiny. Rovnici odvodili Francouz Claude Louis Marie Henri Navier a Ir George Gabriel Stokes v letech 1827 a 1845 nezávisle na sobě.

Odvození

Rovnici lze odvodit z bilance sil působících na tekutinu. Navierova-Stokesova rovnice je však speciálním případem obecné Cauchyho pohybové rovnice tekutiny, z níž lze Navierovu-Stokesovu rovnici odvodit dosazením tenzoru napětí pro Newtonskou tekutinu. Navierova-Stokesova rovnice se dá zapsat několika způsoby, například následovně

$\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=-\frac{1}{\varrho}\nabla p+\nu\nabla^2\vec{u}+\vec{f}$

Význam jednotlivých členů:

místní zrychlení + konvektivní zrychlení = zrychlení způsobené tlakovým spádem (gradientem)+ zrychlení potřebné k překonání třecích sil + zrychlení způsobené objemovými silami

Symboly: $\vec{u}$ je rychlost, $p$ je tlak, $t$ je čas, $\varrho$ je hustota, $\nu$ je kinematická viskozita, $\vec{f}$ je součet objemových sil (často jen tíhové zrychlení $\vec{g}$), $\nabla$ je operátor nabla, $\cdot$ je symbol skalárního součinu podle konvence, že $\vec{u} \cdot \nabla = u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y \frac{\partial}{\partial y} + u_z \frac{\partial}{\partial z}\,$.

Řešení

Navierova-Stokesova rovnice je analyticky řešitelná jen v několika málo případech jednoduchých toků. Ve složitějších případech je nutno rovnici řešit numericky.

Nadace Clayova matematického institutu zařadila vyřešení Navierovy-Stokesovy rovnice na seznam sedmi nejdůležitějších matematických problémů (takzvaných Problémů tisíciletí). Na každý z nich je vypsána odměna milion dolarů.

Použití

Používá se při výpočtech proudění v aerodynamice a hydrodynamice.

Literatura

• Perry R.H.: Perry's chemical engineers' handbook, 7th edition, McGraw-Hill, New York, 1997, ISBN 0-07-049841-5
• POKORNÝ, Milan. Navier–Stokesovy rovnice [online]. [cit. 2009-11-23]. Dostupné online. (čeština) 

Související články

• Diferenciální rovnice
• Mechanika tekutin
• Pohybová rovnice tekutiny
• Rovnice kontinuity