Rovnice kontinuity

Rovnice kontinuity je ve fyzice velmi důležitou rovnicí vyjadřující zákon zachování nějaké veličiny pomocí jejího prostoročasového rozložení (zpravidla v diferenciálním tvaru). Příkladem je rovnice kontinuity v popisu ustáleného proudění kapaliny, hustoty elektrického proudu, v teorii relativity rovnice kontinuity pro čtyřproud, nebo v kvantové mechanice, kde rovnice kontinuity vyjadřuje pomocí amplitudy pravděpodobnosti zachování celkové pravděpodobnosti výskytu částice.

Pod pojmem rovnice kontinuity se rovněž často rozumí zjednodušený tvar rovnice kontinuity pro ideální kapalinu protékající za ustáleného proudění uzavřenou trubicí obecně proměnlivého průřezu S.

Tvary rovnice kontinuity

Rovnici kontinuity lze zapsat v obecném diferenciálním tvaru: ${\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = s$  , kde

• $\rho \,$ je prostorová hustota zachovávající se veličiny,
• ${\partial \over \partial t} \,$ je derivace podle času
• $\mathbf{j} \,$ je veličina vyjadřující hustotu toku (množství prošlé za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru průchodu) zachovávající se veličiny (je-li zachovávající se veličina skalární, je její tok vektor)
• $\nabla \cdot \mathbf{j} \,$ je divergence této hustoty toku
• $s \,$ je zdrojový člen, vyjadřující rychlost přibývání zachovávající se veličiny v jednotce objemu procesy jiné fyzikální podstaty nebo ze zdrojů mimo studovaný systém.

V relativistické fyzice se pak levá strana zápisu zjednoduší na (čtyř)divergenci čtyřvektoru (nebo čtyřtenzoru vyššího řádu, není-li zachovávající se veličina skalár):
$\partial_{\mu} J^{\mu} = S$, kde

• $J^{\mu} \,$ je čtyřvektor ($\scriptstyle \mu = 0,1,2,3$) odpovídající hustotě toku zachovávající se veličiny,
• $S \,$ je relativistická obdoba zdrojového členu $s \,$ (složky relativistického čtyřvektoru hustoty toku a relativistický zdrojový člen se od "nerelativistických" obdob mohou lišit konstantou, zpravidla mocninou rychlosti světla ve vakuu).

Následující tabulka uvádí stručný přehled tvarů rovnice kontinuity v různých aplikacích.

Zachovávající se veličina	Běžný tvar rovnice kontinuity
hmotnost tekutiny:	$\nabla \cdot \left(\rho_{\mathrm{tek.}}\mathbf{v}\right) + {\partial \rho_\mathrm{tek.} \over \partial t} = 0$
hybnost tekutiny:	$\nabla \cdot (\rho_{\mathrm{tek.}} v_i \mathbf{v}) +\frac{\partial}{\partial t}(\rho_{\mathrm{tek.}} v_i) + F_i = 0$
elektrický náboj:	$\nabla \cdot \mathbf{j} + {\partial \rho_\mathrm{el.} \over \partial t} = 0$
nebo v zápise pro čtyřproud:	$\partial_{\mu} J^{\mu}=\partial_{\mu} {\left(\rho_0 U^{\mu}\right)} = 0$
energie elektromagnetického pole:	$\nabla \cdot \mathbf{S} + {\partial u \over \partial t} + \frac{\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}}{\sigma} = \mathbf{E}\cdot\mathbf{j}$
hybnost elektromagnetického pole:	$\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}+\mathrm{div}\, \boldsymbol{\sigma}=-\mathbf{f},$
pravděpodobnost výskytu částice:	$\frac{\hbar}{2 m i} \nabla \cdot \left(\psi^{*} \nabla \psi - \psi \nabla \psi^{*} \right) + {\partial {|\psi|^2} \over \partial t} = 0$

Zde ρ_el. značí hustotu elektrického náboje, ρ_tek. hustotu tekutiny, j plošnou hustotu elektrického proudu, u = (E∙D+B∙H)/2 hustotu energie elektromagnetického pole, S Poyntingův vektor, f hustota síly, σ Maxwellův tenzor a ψ vlnovou funkci, která vyjadřuje hustotu amplitudy pravděpodobnosti.

Odvození rovnice kontinuity

Rovnici kontinuity lze jednoduše odvodit pomocí Gaussovy věty. Předpokládáme, že se daná veličina (v našem případě uvažujme např. elektrický náboj) zachovává, tedy v daném objemu platí

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\Omega \rho\ \mathrm{d}V = - \oint_{\partial \Omega} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$

tedy že časová změna celkového náboje v objemu $\Omega$ je rovna vytečenému (proto znaménko mínus) elektrickému proudu přes povrch objemu $\Omega$ značeného $\partial \Omega$. Ten odpovídá integrálu na pravé straně rovnice.

Nyní aplikujeme na povrchový integrál na pravé straně rovnice Gaussovu větu

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\Omega \rho\ \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{j}\ \mathrm{d}{V}.$

V dalším kroku uvážíme, že za předpokladu, že se oblast $\Omega$ nemění, lze prohodit totální časovou derivaci s integrálem a obdržet

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \int_\Omega \frac{\partial\rho}{\partial t} \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{j}\ \mathrm{d}{V} \implies \int_\Omega \left(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}\right)\mathrm{d}V = 0.$

Protože tento vztah musí platit pro každou uvažovanou oblast $\Omega$, může být rovnice splněna jen tehdy, vynuluje-li se vnitřek objemového integrálu, tedy

$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0.$

Rovnice kontinuity ve středoškolské fyzice

Rovnice kontinuity je rovnice, která platí pro ustálené proudění ideální kapaliny v uzavřené trubici a popisuje vztah mezi rychlostí proudění v a obsahem průřezu S v jednom místě trubice:

$Q_V = S v = \mbox{konst.}\,$

Z rovnice kontinuity plyne:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_2}{S_1}$,

neboli poměr rychlostí v₁ a v₂ proudění ve dvou místech je převrácený k poměru obsahů průřezů S₁ a S₂ trubice v těchto místech. Čím užší trubice, tím rychlejší proudění.

Platnost rovnice kontinuity vychází ze zachování stejného objemového průtoku ve všech místech trubice (za podmínky ustáleného proudění ideální kapaliny v uzavřené trubici).

Tyto vztahy lze zobecnit pro stlačitelné kapaliny. Pro stlačitelné kapaliny se mění hustota a proto se nezachovává objemový tok. Veličina která se zachováva je hmotnostní tok. Rovnici kontinuity lze pak zapsat jako

$Q_m = S\rho v = \mbox{konst} \,$,

což znamená, že při ustáleném proudění stlačitelné kapaliny je hmotnostní tok kapaliny v libovolném kolmém průřezu proudové trubice konstantní.

Související články

• Mechanika
• Mechanika tekutin
• Bernoulliho rovnice