Malfattiho kruhy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Malfattiho kruhy

Malfattiho kruhy (anglicky Malfatti's circles), někdy též nazýváno jako Malfattiho problém je úloha kterou r. 1803 formuloval italský matematik Gian Francesco Malffati.

Formulace problému a řešení[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je vepsat do daného trojúhelníku tři nepřekrývající se kruhy tak, aby jejich celkový obsah byl maximální. Sám Malfatti se domníval že zná správné řešení: nakreslit kruhy tak, aby se každý dotýkal dvou stran trojúhelníku a obou zbývajících kruhů (viz obrázek Malfattiho kruhy). Malffatiho řešení však nebylo správné, přestože se více než sto let věřilo, že ano. Roku 1930 však bylo zjištěno že u rovnostranných trojúhelníků toto pravidlo neplatí, zde je zapotřebí nakreslit nejprve kruh co největší možný a poté dokreslit dva menší. Obsahy kruhů zabírají části z celkových ploch trojúhelníků které jsou dány zlomky:

Malfattiho kruhy - 0,729 plochy trojúhelníka   \frac{\pi \sqrt3}{(1+\sqrt3)^2}\approx 0,729 Lepší řešení - 0,739 plochy trojúhelníka \frac{11\pi}{27\sqrt3}\approx 0,739

Jak je z horních vztahů vidno, zlomek vlevo má o něco menší hodnotu nežli zlomek vpravo.

Obzvláště očividně odhalil neplatnost Malfattiho řešení r.1967 Hovard Eves u dlouhých a úzkých trojúhelníků. Dle Malfattiho by bylo správně vepsat trojúhelníky jak je znázorněno na obrázku dole vlevo, nicméně je zcela evidentní že plocha zabraná kruhy na dolním pravém obrázku je větší.

Malfattiho kruhy pro úzký trojúhelník Lepší řešení pro úzký trojúhelník

R.1967 dokázal Michael Goldberg že Malfattiho pravidlo není správné nikdy, bez ohledu na tvar trojúhelníku. Dále r.1990 matematik Ogilvi a r.1991 Wells ukázali případy kdy se správně musí jeden kruh dotýkat všech stran trojúhelníka. A konečně kompletní řešení problému představil r. 1992 ruský matematik V.A.Zalgaller.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Malfatti's Problem
  • Acheson, David "1089 a další parádní čísla, Matematická dobrodružství" (1089 & All That : A Journey into Mathematics)
  • Goldberg, M. "On the Original Malfatti Problem." Math. Mag. 40, 241-247, 1967.