Kategorie množin

Kategorie množin označovaná Set je v matematice v teorii kategorií taková kategorie, jejíž objekty jsou množiny. Šipky nebo morfismy mezi množinami A a B jsou (všude definovaná) zobrazení (matematika) množiny A do B a skládání morfismů je skládání funkcí.

Mnoho jiných kategorií (jako například kategorie grup, s grupovými homomorfismy jako šipkami) přidává strukturu k objektům kategorie množin a/nebo omezuje šipky na funkce určitého druhu.

Vlastnosti kategorie množin

Kategorií Set splňuje axiomy kategorie, protože skládání funkcí je asociativní, a protože každá množina X má funkce identity id_X : X → X, která slouží jako prvek identity pro skládání funkcí.

Epimorfismy v Set jsou surjektivní zobrazení, monomorfismy jsou injektivní zobrazení a izomorfismy jsou bijektivní zobrazení.

Prázdná množina slouží jako počáteční objekt v kategorii Set s prázdnými funkcemi jako morfismy. Každý singleton je terminální objekt, s morfismy tvořenými funkcemi zobrazení všech prvků zdrojové množiny na jediný cílový prvek. V Set tedy neexistují nulové objekty.

Kategorie Set je úplná a co-úplná. součin v této kategorii je kartézský součin množin. Koprodukt je disjunktní sjednocení: pokud jsou dány množiny A_i, kde i běží přes nějakou indexovou množinu I, zkonstruujeme koprodukt jako sjednocení množin A_i×{i} (kartézský součin s i slouží pro zajištění, aby všechny komponenty byly disjunktními).

Set je prototyp konkrétní kategorie; jiné kategorie jsou konkrétní, pokud jsou nějakým dobře definovaným způsobem „vystavěny“ z kategorie Set.

Každá dvouprvková množina slouží jako klasifikátor podobjektu v Set. Potenční objekt množiny A je její potenční množina a exponenciální objekt množin A a B je množina všech funkcí z A do B. Set je tedy topos (a konkrétně kartézsky uzavřený a přesný v Barrově smyslu).

Set není abelovská kategorie, aditivní kategorie ani preaditivní kategorie.

Každá neprázdná množina je injektivní objekt v Set. Každá množina je projektivní objekt v Set (vyžaduje axiom výběru).

Konečně prezentovatelné objekty v Set jsou konečné množiny. Protože každá množina je přímou limitou svých konečných podmnožin, kategorie Set je konečně prezentovatelný objekt.

Pokud C je libovolná kategorie, důležitými objekty studia jsou kontravariantní funktory z C do Set. Pokud A je objektem z C, pak příkladem takového funktoru je funktor z C do Set který převádí X na Hom_C(X,A) (množinu morfismů v C z X do A). Pokud C je malá kategorie (tj. kolekce jejích objektů tvoří množinu), pak kontravariantní funktory z C do Set spolu s přirozenými transformacemi jako jsou morfismy, tvoří novou kategorii, kategorii funktorů nazývanou kategorie předsvazků do C.

Základy kategorie množin

V Zermelově–Fraenkelově teorii množin (ZF) není kolekce (třída) všech množin množinou; vyplývá to z axiomu fundovanosti. Kolekcím, které nejsou množinami, říkáme vlastní třídy. S vlastními třídami nemůžeme pracovat jako s množinami; konkrétně, nemůžeme psát, že tyto vlastní třídy patří do nějaké kolekce (množiny nebo vlastní třídy). To je problém, protože to znamená, že kategorii množin v tomto případě nelze přímočaře formalizovat. Kategorie jako Set, jejíž kolekce objektů tvoří vlastní třídu se nazývají velké kategorie, pro jejich odlišení od malých kategorií, jejichž objekty tvoří množinu.

Jedním ze způsobů, jak vyřešit tento problém, je pracovat v systému, který dává vlastním třídám formální status, jako například Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin (NBG). V tomto případě se kategorie tvořené množinami nazývají malé, a kategorie (jako Set), které jsou tvořeny vlastními třídami se nazývají velké.

Dalším řešením je předpokládat existenci Grothendieckových univerz. Jednoduše řečeno, Grothendieckovo univerzum je taková množina která je samotná modelem ZFC (pokud například nějaká množina patří do univerza, její prvky její potenční množina bude také patřit do univerza). Existence Grothendieckových univerz (jiných než prázdná množina a množina $V_{\omega }$ všech dědičně konečných množin) nevyplývá z obvyklých axiomů ZF; vyžaduje dodatečný, nezávislý axiom, zhruba ekvivalentní existenci silně nedostupných kardinálů. Pokud předpokládáme, že tento zvláštní axiom platí, můžeme omezit objekty kategorie Set na prvky určitého univerza. (V rámci modelu neexistuje „množina všech množin“, ale můžeme stále uvažovat třídu U všech vnitřních množin, tj. prvků univerza U.)

V jedné variantě tohoto schématu je třída množin sjednocením celé věže Grothendieckových univerz. (To je nutně vlastní třída, ale každé Grothendieckovo univerzum je množina, protože je prvkem nějakého většího Grothendieckova univerza.) Ale my nepracujeme přímo s „kategorií všech množin“. Místo toho jsou věty vyjádřené pomocí kategorie Set_U, jejíž objekty jsou prvky dostatečně rozsáhlého Grothendieckovo univerza U, a pak lze dokázat, že nezávisí na určité volbě U. Jako základ pro teorii kategorií je tento přístup srovnatelný se systémy jako Tarského–Grothendieckova teorie množin, ve které nemůžeme přímo pracovat s vlastními třídami; jeho základní nevýhodou je, že určitá věta může být pravdivá pro všechny Set_U, ale ne pro Set.

Byla navržena různá jiná řešení a variace výše uvedeného.

Tytéž problémy se objevují i u jiných konkrétních kategorií, jako například kategorií grup nebo kategorií topologických prostorů.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Category of sets na anglické Wikipedii.

• BLASS, A., 1984. The interaction between category theory and set theory. Contemporary Mathematics. Roč. 30 (1984). Dostupné online. (anglicky) 
• FEFERMAN, S., 1969. Set-theoretical foundations of category theory. Springer Lect. Notes Math. Roč. 106 (1969), s. 201–247. (anglicky) 
• LAWVERE, F. W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary [online]. Dostupné online. (anglicky) 
• MAC LANE, Saunders, 1969. One universe as a foundation for category theory. Springer Lect. Notes Math. Roč. 106 (1969), s. 192–200. (anglicky) 
• MAC LANE, Saunders, 1998. Categories for the Working Mathematician. [s.l.]: Springer. Dostupné online. ISBN 0-387-98403-8.  (Svazek 5 v řadě Graduate Texts in Mathematics)
• PAREIGIS, Bodo. Categories and functors. [s.l.]: Academic Press, 1970. (Pure and applied mathematics). ISBN 978-0-12-545150-5. 

Související články

• Teorie množin
• Malá množina (teorie kategorií)