Konkrétní kategorie

Konkrétní kategorie je v matematice, v teorii kategorií kategorie s injektivním funktorem do kategorie množin (případně do jiné kategorie viz relativní konkrétnost). Tento funktor umožňuje pokládat objekty této kategorie za množiny s přidanou strukturou a její morfismy za funkce, které tuto strukturu zachovávají. Mnoho důležitých kategorií má zjevnou reprezentaci jako konkrétní kategorie, např. kategorie topologických prostorů, kategorie grup a triviálně sama kategorie množin. Na druhou stranu kategorie homotopií topologických prostorů není konkretizovatelná, neboli neexistuje injektivní funktor do kategorie množin.

Pokud je konkrétní kategorie definována bez pojmu kategorie, sestává ze třídy objektů, z nichž pro každý existuje podkladová množina, a pro každé dva objekty A a B existuje množina funkcí nazývaných morfismy, z podkladové množiny A do podkladové množiny B. Navíc pro každý objekt A, funkce identity na podkladové množině A musí být morfismus z A do A, a složení morfismus z A do B a morfismu z B do C musí být morfismus z A do C.

Definice

Konkrétní kategorie je dvojice (C,U), taková, že

• C je kategorie
• U : C → Set (kategorie množin a funkcí) je faithful funktor.

Funktor U se považuje za zapomínající funktor (anglicky forgetful functor), který přiřazuje každému objektu z C podkladovou množinu a každému morfismu v C podkladovou funkci.

Kategorie C je konkretizovatelná, pokud existuje konkrétní kategorie (C,U). Tj. pokud existuje faithful funktor U: C → Set. Všechny malé kategorie jsou konkretizovatelné: definujeme U tak, že její objektová část zobrazuje každý objekt b kategorie C na množinu všech morfismů C jejichž obor hodnot je b (tj. všechny morfismy tvaru f: a → b pro libovolný objekt a kategorie C) a její morfismová složka zobrazuje každý morfismus g: b → c of C na funkci U(g): U(b) → U(c), která zobrazuj každý člen f: a → b z U(b) na složení gf: a → c, což je člen U(c). (Položka 6 v části Další příklady vyjadřuje stejné U v složitějším jazykem předsvazků (anglicky presheaves). V části Protipříklady jsou uvedeny dvě velké kategorie, které nejsou konkretizovatelné.

Poznámky

Konkrétnost kategorie není navzdory intuici vlastnost, kterou kategorie splňuje nebo nesplňuje, ale spíše struktura, kterou kategorie může ale nemusí být vybavena. Speciálně daná kategorie může mít několik injektivních funktorů do Set. proto může existovat několik konkrétních kategorií (C, U), které všechny odpovídají téže kategorii C.

V praxi je však volba faithful funktoru často jasná a v tomto případ jednoduše mluvíme o konkrétní kategorii C. Například konkrétní kategorie Set znamená dvojici (Set, I), kde I označuje funktor identity Set → Set.

Požadavek, aby U byla faithful znamená, že přiřazuje různým morfismům mezi stejnými objekty na různé funkce. Ale U může přiřazovat různým objektům stejnou množinu, a pokud k tomu dojde, bude také přiřazovat různým morfismům stejnou funkci.

Pokud například S a T jsou dvě různé topologie na stejné množině X, pak (X, S) a (X, T) jsou různé objekty v kategorii Top topologických prostorů a spojitých zobrazení, kterým je ale forgetful funktorem Top → Set přiřazena stejná množina X. Navíc morfismus identity (X, S) → (X, S) a morfismus identity (X, T) → (X, T) jsou považovány za různé morfismy v Top, které ale mají stejnou podkladovou funkci, jmenovitě funkci identity na X.

Podobně k libovolné čtyřprvkové množině lze přiřadit dvě neizomorfní grupové struktury; jednu izomorfní s $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, a druhou izomorfní s $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Category of sets na anglické Wikipedii.

Literatura

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories Archivováno 21. 4. 2015 na Wayback Machine. (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
• Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), with the permission of Springer-Verlag.
• Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.