Cykloida

Cykloida generovaná valícím se kolem

Cykloida je transcendentní cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kutálí) po přímce.

Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.

Prostá cykloida

Prostá cykloida

Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametricky:

$x=a(t-\sin t)$,

$y=a(1-\cos t)$,

kde $a$ je poloměr kružnice a parametr $t$ je úhel otočení kutálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru

$x=a\arccos {\frac {a-y}{a}}-{\sqrt {y(2a-y)}}$

pro $x\in \langle 0,\pi a\rangle$, resp.

$x=a\left(2\pi -\arccos {\frac {a-y}{a}}\right)+{\sqrt {y(2a-y)}}$

pro $x\in \langle \pi a,2\pi a\rangle$.

Perioda cykloidy je $2\pi a$.

Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od hrotu do bodu $[x(t),y(t)]$ pro $t\in \langle 0,2\pi \rangle$ je

$s=4a\left(1-\cos {\frac {t}{2}}\right)$

Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz

$s=8a$

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je

$S=3\pi a^{2}$

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je

$R=4a\left|\sin {\frac {t}{2}}\right|$,

takže poloměr křivosti ve vrcholu je maximální:

$R=4a$.

Nejjednodušší přirozená rovnice prosté cykloidy je

$R^{2}+s^{2}=16a^{2},s\in \langle -4a,+4a\rangle ,$

kde však oblouk s počítáme od vrcholu.

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy $x$ posunuta o $\pi a$ souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy $y$ je posunuta o $2a$ nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

Zkrácená a prodloužená cykloida

Zkrácená cykloida

Prodloužená cykloida

Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru $a$ je $d$, pak pro $d<a$ získáme cykloidu zkrácenou a pro $d>a$ cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru

$x=at-d\sin t$

$y=a-d\cos t$

Vlastnosti

• Prostá cykloida má nekonečně mnoho hrotů.
• Všechny prosté cykloidy mají stejný tvar, jsou podobné.
• Zkrácená cykloida má nekonečně mnoho inflexních bodů.
• Prodloužená cykloida má nekonečně mnoho uzlů (dvojných bodů).
• Oblouk cykloidy snese ze všech oblouků největší zatížení, proto mnoho oblouků mostů má právě její tvar.
• Část cykloidy je řešením úlohy o brachistochroně

Související články

• Cyklická křivka
• Brachistochrona

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cykloida na Wikimedia Commons
• Jak vyrobit brachistochronu (video)
• Cykloidy v Cabri
• Cyklické pohyby (teorie, obrázky v Gnuplotu)

Portály: Matematika