Dedekindův řez: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 20. 11. 2023, 10:42

Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel. Pojem je pojmenován po německém matematikovi Richardu Dedekindovi, jako první však reálná čísla s pomocí této konstrukce definoval francouzský matematik Joseph Bertrand v roce 1849.^[1]

Definice

Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.

Motivace

V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny – každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.

Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina" $\subseteq \,\!$ .

Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice celých čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.

Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu – to znamená, aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.

Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté MacNeilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze ji použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.

Konstrukce zúplnění

Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.

Množina všech $S_{A}\,\!$ všech stabilních podmnožin nějaké množiny $A\,\!$ je úplný svaz, to znamená, že je uzavřen na suprema a infima - je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc pokud je $A\,\!$ lineárně uspořádaná, pak je také $S_{A}\,\!$ lineárně uspořádaná (relací $\subseteq \,\!$ ).

Definujeme-li zobrazení $f:A\implies S_{A}\,\!$ předpisem $f(x)=\{y\in A:y\leq x\}\,\!$ , dostáváme izomorfní vnoření $A\,\!$ do $S_{A}\,\!$ .
Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v $A\,\!$ , ale pokud v $A\,\!$ neexistovala, pak v $S_{A}\,\!$ již (pro izomorfní obraz) existují.

Speciálně pro racionální čísla $Q\,\!$ je $S_{Q}\,\!$ izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.

Příklady

Množina $A_{1}=\{x\in Q:x<1\}\,\!$ má supremum v $Q\,\!$ - platí $supA_{1}=1\,\!$ .
Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu
$S_{1}=\{f(x)\in S_{Q}:f(x)<f(1)\}=\{(-\infty ,x]:x<1\}\,\!$ a její supremum je $(-\infty ,1]=f(1)\,\!$ . Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.

Množina $A_{2}=\{x\in Q:x^{2}<2\}\,\!$ nemá v $Q\,\!$ supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v $S_{Q}\,\!$ získá:
$S_{2}=\{f(x)\in S_{Q}:f(x^{2})<f(2)\}\,\!$ má supremum $supS_{2}=(-\infty ,{\sqrt {2}}]\,\!$ , které není obrazem žádného prvku z $Q\,\!$ .

Vysvětlení pro laiky

Jednoduše řečeno, Dedekindův řez je zákonitost, která říká, že když "řízneme" do číselné osy v náhodném místě, získáme nějaké číslo, které se v tom místě nachází, neplatí tedy u všech číselných oborů.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Joseph Bertrand na anglické Wikipedii.

↑ SPALT, Detlef D. Eine kurze Geschichte der Analysis. SpringerLink. 2019. Dostupné online [cit. 2023-11-20]. DOI 10.1007/978-3-662-57816-2. (německy)

Související články

Externí odkazy

Dedekindův řez v encyklopedii MathWorld (anglicky)

[1] SPALT, Detlef D. Eine kurze Geschichte der Analysis. SpringerLink. 2019. Dostupné online [cit. 2023-11-20]. DOI 10.1007/978-3-662-57816-2. (německy)

[1]

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
 [[Soubor:Dedekind cut- square root of two.png|náhled|Definice <math>\sqrt{2}</math> pomocí Dedekindových řezů]]
-'''[[Richard Dedekind|Dedekindův]] řez''' je [[matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie množin]], který je využíván při [[Množina|množinové]] konstrukci číselného oboru [[reálné číslo|reálných čísel]].
+'''[[Richard Dedekind|Dedekindův]] řez''' je [[matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie množin]], který je využíván při [[Množina|množinové]] konstrukci číselného oboru [[reálné číslo|reálných čísel]]. Pojem je pojmenován po německém matematikovi [[Richard Dedekind|Richardu Dedekindovi]], jako první však reálná čísla s pomocí této konstrukce definoval francouzský matematik [[Joseph Bertrand]] v roce 1849.<ref>{{Citace periodika
+| příjmení = Spalt
+| jméno = Detlef D.
+| odkaz na autora = Detlef Spalt
+| titul = Eine kurze Geschichte der Analysis
+| periodikum = SpringerLink
+| datum vydání = 2019
+| doi = 10.1007/978-3-662-57816-2
+| jazyk = de
+| url = https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57816-2
+| datum přístupu = 2023-11-20
+}}</ref>
 == Definice ==
-'''[[Richard Dedekind|Dedekindův]] řez''' je každá [[dolní množina]] v [[lineární uspořádání|lineárně uspořádané]] množině, která obsahuje své [[supremum]], pokud toto supremum existuje.
+[[Richard Dedekind|Dedekindův]] řez je každá [[dolní množina]] v [[lineární uspořádání|lineárně uspořádané]] množině, která obsahuje své [[supremum]], pokud toto supremum existuje.
 == Motivace ==
-V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny - každé [[číslo]] je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.
+V rámci teorie množin jsou všechny [[Číselný obor|číselné obory]] konstruovány jako množiny – každé [[číslo]] je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.
 Například [[přirozené číslo|přirozená čísla]] jsou v teorii množin [[konečná množina|konečná]] [[ordinální číslo|ordinální čísla]] uspořádaná [[binární relace|relací]] "být [[podmnožina]]" <math> \subseteq \,\! </math> .
@@ Řádek 13: / Řádek 24: @@
 [[Racionální číslo|Racionální čísla]] jsou konstruována jako [[Uspořádaná n-tice|uspořádané dvojice]] [[Celé číslo|celých čísel]] s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.
-[[Reálné číslo|Reálná čísla]] je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu - to znamená aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru [[supremum]] a [[infimum]].
+[[Reálné číslo|Reálná čísla]] je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu – to znamená, aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru [[supremum]] a [[infimum]].
-Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté [[MacNeilleova věta|MacNeilleovy věty]]), že množina všech '''[[Richard Dedekind|Dedekindových]] řezů''' na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze ji použít jako [[izomorfismus|izomorfní kopii]] číselného oboru reálných čísel.
+Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté [[MacNeilleova věta|MacNeilleovy věty]]), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze ji použít jako [[izomorfismus|izomorfní kopii]] číselného oboru reálných čísel.
 == Konstrukce zúplnění ==
@@ Řádek 39: / Řádek 50: @@
 == Odkazy ==
+=== Reference ===
+{{Překlad|en|Joseph Bertrand|1176595126}}
+<references />
 === Související články ===