Prostor s mírou

Prostor míry je množina $X$, ve které chceme měřit „plošné obsahy“ (ve trojrozměrném případě „objemy“, v jednorozměrném případě „délky“, obecně „velikosti“), s mírou, jakožto funkcí, která podmnožinám $X$ přiřazuje jejich „velikost“. Prostory míry jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu. Na teorii míry je vystavěna moderní teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor míry, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.

Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny $X$ může vést k Banachově-Tarského paradoxu, proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny $X$ byly měřitelné. Podle této definice je prostor míry tvořen třemi složkami:

• množinou $X$, jejíž části chceme měřit,
• souborem všech měřitelných podmnožin množiny $X$, a
• funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ – nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.

Definice

Prostor míry je uspořádaná trojice $(X,{\mathcal {A}},\mu ),$ kde

• $X$ je nějaká množina
• ${\mathcal {A}}$ je sigma-algebra na množině $X$
• $\mu$ je nějaká míra na $(X,{\mathcal {A}})$

Jednoduše lze říct, že prostor míry je měřitelný prostor $(X,{\mathcal {A}})$ s mírou na $(X,{\mathcal {A}})$.

Příklad

Uvažujme množinu $X=\{0,1\}$. Na konečných množinách bývá ${\textstyle \sigma }$-algebra obvykle celá potenční množina, neboli množina všech podmnožin dané množiny značená ${\textstyle {\mathcal {P}}(\cdot )}$. Nechť

${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)$

V tomto jednoduchém případě lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:

${\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.$

Míru ${\textstyle \mu }$ definujeme takto

$\mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},$

takže ${\textstyle \mu (X)=1}$ (díky aditivitě míry) a ${\textstyle \mu (\emptyset )=0}$ (z definice míry).

Tím dostaneme prostor míry ${\textstyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu )}$. Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože ${\textstyle \mu (X)=1}$. Míra ${\textstyle \mu }$ odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$ které se používá například jako model házení poctivou mincí.

Důležité prostory míry

• Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou.
• Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. takovou mírou, která celé množině $X$ přiřazuje míru 1.
• $\sigma$-konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je σ-konečná.
• Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measure space na anglické Wikipedii.

Související stránky

• Měřitelný prostor
• Pravděpodobnostní prostor
• Míra (matematika)
• Sigma algebra
• Lebesgueova míra

Portály: Matematika