Vlnky Daubechies

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Daubechiesové vlnka se 2 nulovými momenty

Daubechiesové vlnky (vlnky Daubechies) jsou rodinou ortogonálních vlnek pojmenovaných podle jejich objevitelky, belgické fyzičky a matematičky Ingrid Daubechies. Používají se při diskrétní vlnkové transformaci, nemají explicitní vyjádření a jejich konstrukce je složitá.

Rodina Daubechiesové vlnek je zajímavá tím, že vlnky mají známý počet nulových momentů. Jsou konstruovány tak, že na dané délce nosiče mají právě maximální počet nulových momentů . Důsledkem toho je tato vlnka ortogonální na polynomy až do stupně (vlnková transformace bude v odpovídajících místech nulová). Tato vlastnost činí vlnky vhodnými k použití v aplikacích potlačení resp. získání polynomiální části signálu. Další aplikací je použití vlnky jako derivátoru (parciálního diferenciálního operátoru) daného řádu pro detekci nespojitostí v signálu a jeho derivacích.

Vlnka řádu (s jedním nulovým momentem) se také nazývá Haarova vlnka.

Vlastnosti
  • asymetrické (až na )
  • ortogonální, biortogonální
  • délka filtrů (počet koeficientů)
  • kompaktní nosič délky
  • vlnky mají nulových momentů

Výpočet koeficientů[editovat | editovat zdroj]

Koeficienty škálovací funkce (dolní propusti při použití ortogonální banky filtrů) musejí splňovat následující podmínky.

Normalizace:

nebo (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou )

z čehož plyne

nebo (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou )

Ortogonalita:

pro

Nulovost momentů (uhlazenost, podmínka dolní propusti, regulárnosti):[1]

pro

Existuje více řešení (je ovšem třeba odlišit dolní propust od horní).

Vlnky se označují jako Dx, kde x je buď počet koeficientů () nebo počet nulových momentů (), tedy např. D8 může být vlnka s 8 koeficienty (a čtyřmi nulovými momenty).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Výpočet vlnky se 4 koeficienty (označované jako D4) v MATLABu (místo je použito pouze značení ):

t = solve(
	'h0*h0 + h1*h1 + h2*h2 + h3*h3 = 1',            % normalizace
	'h2*h0 + h3*h1 = 0',                            % ortogonalita
	'+(0^0)*h0 -(1^0)*h1 +(2^0)*h2 -(3^0)*h3 = 0',  % nulovost nultého
	'+(0^1)*h0 -(1^1)*h1 +(2^1)*h2 -(3^1)*h3 = 0'   % a prvního momentu (podmínky uhlazenosti)
);
r=length(t.h0);                                     % počet řešení
s=[1:r]; eval( [t.h0(s) t.h1(s) t.h2(s) t.h3(s)] )  % zobrazit řešení

Řešení (pouze dolní propusti):

h0 h1 h2 h3
−0.129409522551260 0.224143868042014 0.836516303737808 0.482962913144534
0.482962913144534 0.836516303737808 0.224143868042014 −0.129409522551260

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. ADDISON, Paul S.. The Illustrated Wavelet Transform Handbook. [s.l.] : CRC Press, 2002. 353 s. Dostupné online. ISBN 0750306920, 9780750306928. Kapitola 3.5 Daubechies wavelets, s. 104. (anglicky)  

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61). ISBN 0898712742. (anglicky)