Kvadraturně zrcadlový filtr

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako kvadraturně zrcadlové filtry (quadrature mirror filter, QMF) se při zpracování signálu označují dva filtry s frekvenčními charakteristikami zrcadlově symetrickými kolem čtvrtiny vzorkovací frekvence (tzn. \pi/2). Své užití mají zejména při výpočtu diskrétní vlnkové transformace.

Zrcadlový filtr k původnímu filtru H_0(z) (typicky dolní propust) vytvoříme nahrazením z za -z v jeho přenosové charakteristice.[1]

H_1(z) = H_0(-z)\,

Tím se charakteristika filtru H_1 posune vůči H_0 o \pi.

| H_1(e^{j\omega}) | = | H_0(e^{j(\pi-\omega)}) |\,

Impulzní charakteristiku vytvoříme tedy jako:

h_1[n] = (-1)^n h_0[n]\, pro 0 \leq n < N\,

Ortogonální banky filtrů[editovat | editovat zdroj]

Pro ortogonální v čase diskrétní vlnkovou transformaci je při konstrukci zrcadlových filtrů nutné splnit další podmínky.

Budeme potřebovat dva rozkladové filtry H_0 a H_1 a dva rekonstrukční filtry G_0 a G_1.

banka kvadraturně zrcadlových filtrů


Rozkladové filtry musejí být vzájemně komplementární (pouze jinak zapsaná podmínka perfektní rekonstrukce).

| H_0(z) |^2 + | H_1(z) |^2 = konstanta\,, za konstantu je dosazována 2[2]

Mějme opět původní dolní propust H_0. Zrcadlovou horní propust H_1 (tzv. konjugovaný kvadraturní filtr, conjugated quadrature filter, CQF) musíme vytvořit následovně (variant je ve skutečnosti více).[3]

H_1(z) = z H_0(-z^{-1})\,

Impulzní charakteristika je tedy:

h_1[n] = (-1)^n h_0[N-1-n]\, pro 0 \leq n < N\,

Rekonstrukční filtry:

G_0(z)=H_0(z^{-1})\,
G_1(z)=H_1(z^{-1})\,

Impulzní charakteristiky jsou tedy pouze časově obrácené vzorky příslušných rozkladových filtrů.

Výstupy rozkladových filtrů je nyní možné podvzorkovat dvěma (zahodit každý lichý nebo každý sudý vzorek), protože filtry propustí polovinu frekvenčního pásma a podle Shannonova teorému je nyní potřeba pouze poloviční množství vzorků. Před rekonstrukcí se chybějící vzorky doplní nulami.[4] Výstupy větví s dolní a horní propustí se sečtou. Výsledný signál by měl být zpožděným vstupním signálem.

Perfektní rekonstrukce[editovat | editovat zdroj]

Jako perfektní rekonstrukci označujeme situaci, kdy se (zpožděný) vstupní signál rovná výstupnímu x[n-l] = \hat{x}[n].[5]

V z-doméně:

G_0(z)H_0(z) + G_1(z)H_1(z) = 2z^{-l}\,
G_0(z)H_0(-z) + G_1(z)H_1(-z) = 0\,, kde z^{-l} je zpoždění

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. KOZUMPLÍK, Jiří; KOLÁŘ, Radim; JAN, Jiří. Číslicové zpracování a analýza signálů (počítačová cvičení). Brno : [s.n.]. 84 s. Skriptum FEKT VUT v Brně. Kapitola 3.8.1 Zrcadlový filtr, s. 37.  
  2. SIMONCELLIY, Eero P.; ADELSONZ, Edward H.. Subband Transforms. In WOODS, John William. Subband Image Coding. Norwell, MA : Kluwer Academic Publishers, 1991. náhled online Dostupné online. ISBN 0792390938, 9780792390930. Kapitola 4.4 Quadrature Mirror Filters, s. 163, 164, 165. (anglicky)
  3. LEBRUN, Jérôme; SELESNICK, Ivan. Gröbner bases and wavelet design. Journal of Symbolic Computation. 2004, roč. 37, čís. 2, s. 232. Kapitola 1.3. Orthonormal filter banks. Dostupné online [HTML a PDF online, cit. 2. ledna 2009]. ISSN 0747-7171. DOI:10.1016/j.jsc.2002.06.002. (anglicky) 
  4. STRANG, Gilbert; NGUYEN, Truong. Wavelets and Filter Banks. [s.l.] : SIAM, 1996. 490 s. Dostupné online. ISBN 0961408871, 9780961408879. Kapitola Shannon (Down-)Sampling Theorem, s. 50, 51. (anglicky) 
  5. LEBRUN, Jérôme; SELESNICK, Ivan. Gröbner bases and wavelet design. Journal of Symbolic Computation. 2004, roč. 37, čís. 2, s. 230. Kapitola 1.1. Filter banks. Dostupné online [HTML a PDF online, cit. 2. ledna 2009]. ISSN 0747-7171. DOI:10.1016/j.jsc.2002.06.002. (anglicky)