Shannonův teorém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Shannonův teorém (Nyquistův teorém, Kotělnikovův teorém, Nyquistův-Shannonův teorém, Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém, apod.)

„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“

Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi[editovat | editovat zdroj]

V praxi se tedy vzorkovací frekvence volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V telekomunikacích je to např. 8 kHz neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na CD je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské ucho slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.

Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem

kde je frekvence vzorkování, je maximální frekvence, která se vyskytuje v signálu.

V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. aliasingu, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu.

Shannonův teorém pro vzorkování obrazu[editovat | editovat zdroj]

Nechť je spojitá funkce obrazu. Vzorkováním funkce rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji ).

Dále definujme konvoluci dvou funkcí jako

Označme jako Fourierovu transformaci funkce .

Definujme ještě tzv. delta funkci , pro kterou platí:

Pak vzorkování s krokem je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí definovaným jako

Tedy .

Platí, že Fourieova transformace funkce má tvar

Díky konvolučnímu teorému, který říká

platí, že

Vzorkování je pak konvoluce Fourierova obrazu funkce s polem delta funkcí . To znamená, že je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce . Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný aliasing. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci v původní podobě).

Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci . Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias.

Související články[editovat | editovat zdroj]