Věta o pevném bodě
Věta o pevném bodě je některé z mnoha matematických tvrzení říkajících, že zobrazení (například funkce nebo operátor) F za určitých podmínek má alespoň jeden (nebo právě jeden) pevný bod, tedy vzor x, pro který platí F(x) = x.[1] Věty o pevném bodě se často objevují zejména v důkazech existence řešení různých úloh, případně důkazech, že určité postupy k řešení konvergují.
Příkladem je Banachova věta o pevném bodě (1922), která v řadě případů umožňuje určit, že iterace určité funkce konvergují.[2]
Jiné známé tvrzení je Brouwerova věta o pevném bodu (1911), jež je ovšem nekonstruktivní. Říká, že pevný bod má každá spojitá funkce zobrazující uzavřenou kouli v n-rozměrném euklidovském prostoru na sebe,[3] ale nedává návod, jak tento pevný bod najít. Například funkce kosinus je spojitá na intervalu [−1,1] a promítá ho do téhož intervalu [−1, 1], a proto musí mít podle Brouwerovy věty pevný bod. To je jasné z grafu funkce kosinus; pevný bod se vyskytuje tam, kde křivka y = cos x protíná přímku y = x. Numericky je pevný bod (známý jako číslo Dottie) přibližně x = 0,73908513321516 (pro tuto hodnotu x platí x = cos x).
Reference[editovat | editovat zdroj]
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fixed-point theorem na anglické Wikipedii.
- ↑ Fixed point theory and its applications: proceedings of a conference held at the International Congress of Mathematicians, August 4-6,1986. Příprava vydání Robert F. Brown, American Mathematical Society. Providence, RI: American Mathematical Soc 268 s. (Contemporary mathematics). ISBN 978-0-8218-5080-0.
- ↑ GILES, John R. Introduction to the analysis of metric spaces. Reprinted. vyd. Cambridge: Cambridge Univ. Press 257 s. (Australian Mathematical Society lecture series). ISBN 978-0-521-35928-3, ISBN 978-0-521-35051-8.
- ↑ Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis: main principles and their applications, Springer, 1995.