Stirlingův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec (též Stirlingova formule) je nejznámější aproximací faktoriálu pro vysoké hodnoty argumentu. Stejně dobře jde vzorec použít i pro aproximaci gama funkce, která v podstatě představuje zobecnění faktoriálu a to na obor komplexních čísel. Je pojmenován po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi.

Stirlingův vzorec zní:

n!= \Gamma (n+1) \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n

Symbolu přibližně je nutno rozumět tak, že platí:


\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} = 1

S rostoucím n tedy Stirlingův vzorec procentuálně čím dál lépe aproximuje faktoriál. Absolutní odchylka faktoriálu a jeho Stirlingovy aproximace ovšem k nule nejde.

Představu o přesnosti tohoto vztahu si můžeme udělat z procentuální odchylky faktoriálu od Stirlingova vzorce. Tato odchylka je vždy kladná, tedy Stirlingův vzorec je vždy o něco menší než daný faktoriál. Z tabulky je patrné, že již pro n=1 je odchylka docela malá. Pro n=0 nemá Stirlingův vzorec smysl.

Odchylka n! od Stirlingova vzorce
n \delta_{n!}
1 8 %
2 4 %
5 1,7 %
10 0,8 %
20 0,4 %
40 0,2 %
60 0,1 %

Stirlingův vzorec se používá hlavně při výpočtu limit, kde vystupuje faktoriál. Ve fyzice nalézá velké uplatnění ve statistické fyzice.

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Nejlépe odvodíme Stirlingův vzorec z definice funkce gamma, platí totiž:

n!=\Gamma (n+1) = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} \, \mathrm{d}x=\int_0^{\infty} \exp (-x + n \ln x) \, \mathrm{d}x

Argument v exponenciále nabývá maxima pro x=n, bude proto vhodné vůči tomuto bodu funkci aproximovat pomocí Taylorovy řady. První derivace je zde nulová, jelikož se jedná o maximum, druhá derivace je záporná a rovna -\frac{1}{n}.

Dostáváme tedy:

n! \approx \int_0^{\infty} \exp \left( n \ln n - n - \frac{1}{2n} (x-n)^2 \right) \, \mathrm{d}x

Kde první člen v exponenciále odpovídá funkční hodnotě v maximu, koeficient u kvadrátu je polovinou druhé derivace.

Další úpravou výrazu dostaneme:

n! \approx  \left(\frac{n}{e} \right)^n \int_{0}^{\infty} \exp \left(- \frac{1}{2n} (x-n)^2 \right)\, \mathrm{d}x = \sqrt{2n} \left(\frac{n}{e} \right)^n \int_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}^{\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x

Poslední integrovaná funkce nabývá vysokých hodnot pouze v okolí počátku, a proto můžeme předpokládat, že rozšířením integračního oboru na celá reálná čísla se nedopustíme velké chyby (zajímají nás případy, kdy je n velké). Pak je poslední integrál integrál Gaussův a je roven \sqrt{\pi}. Po dosazení tedy konečně dostáváme:

n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n

Což je právě Stirlingův vzorec. Toto odvození je nutno brát s rezervou, nikde jsme totiž neodhadli chybu výpočtu.

Za hranice klasického Stirlingova vzorce[editovat | editovat zdroj]

Stirlingův vzorec je prvním členem asymptotického rozvoje funkce, tedy rozvoje, který dobře vystihuje chování faktoriálu v nekonečnu.

Chceme-li vystihnout chování faktoriálu v nekonečnu ještě lépe, je třeba použít i další členy asymptotického rozvoje. Tzv. Stirlingova asymptotická řada pro faktoriál má pak tvar:


  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n
  \left(
   1
   +{1\over12n}
   +{1\over288n^2}
   -{139\over51840n^3}
   -{571\over2488320n^4}
   + \cdots
  \right).

Tato řada umožňuje přinejmenším odhadnout chybu Stirlingovy formule, okamžitě vidíme, že velikost relativní chyby je pro velká n rovna \frac{1}{12n}. Tento odhad relativní chyby velmi dobře odpovídá chybám uvedeným v tabulce.

Poznamenejme, že uvedená asymptotická řada bodově nekonverguje, pro určité pevné n se tedy od určitého členu začne součet řady vzdalovat od hodnoty, kterou má aproximovat. Vyšší členy mají tedy smysl hlavně pro velká n.